関数の最小値

質問

混合のギブズ自由エネルギーΔＧ=XlnX+(1-X)ln(1-X)の最小値を求めたいのですがなぜかできません。
答えはXa=0.5のとき最小値-0.7
とわかっているのですが。
XlnXの微分はX'lnX+XlnX'ですよね？
一応。。。X'はXの微分です。

回答No.6

info22 · ベストアンサー

#1です。
A#1の補足の質問の回答
>d(ΔG)/dx＝ln(x/(1-x))+2
他の方も計算してくれていますが間違いで最後の定数項は消えます。
多分単純な計算ミスだと思います。
d(ΔG)/dx=ln(x/(1-x))
d(ΔG)/dx=0となるxを求めると
ln(x/(1-x))=0=log1 から
x/(1-x)=1　→　x=1-x → 2x=1　→　x=1/2(=0.5)
が出てきます。
d^2(ΔG)/dx^2=1/{x(1-x)}>0 (∵0<x<1)
0<x<1でf(x)>0なのでΔGはこの区間で下に凸な関数で、
x=1/2で
極小値(ΔG)min=2(1/2)ln(1/2)
　　　　　　　=-ln(2)≒-0.693147181≒-0.7
をとります。

お礼

補足ありがとうございます！！
納得できました！

回答No.5

carpmaeda1

y=(1-x)ln(1-x)とし、z=1-xとすると

y=zln(z)となりますので、これをzで微分します。

dy/dz = z*(1/z)+ln(z) = 1+ln(z) …(1)

またzをxで微分すると
dz/dx = -1 …(2)

(1)と(2)の辺々をかけると

(dy/dz)*(dz/dx) = -1-ln(z)

これを整理して、辺々を整理、zをxの式に戻すと

dy/dx = -1-ln(1-x)

となります。

お礼

なるほど！！！ありがとうございます！！！納得しました。
自分のやり方（z=1-x)と置き換えないやり方のどこが間違っていたのかはよくわかりませんが。
carpmaeda1のやり方で納得しました。夜遅くありがとうございました！

回答No.4

carpmaeda1

＞記述が面倒なので、G'をΔG/ΔXとさせてもらうと、
日本語が変だったので、訂正させてください。
誤：「G'をΔG/ΔXとさせてもらうと」
正：「ΔG/ΔXをG'とさせてもらうと」

回答No.3

carpmaeda1

ln(X)の微分は1/Xです。
また、Xln(X)の微分は、1+ln(X)となります。
※Xは関数ではなければの話ですが。

記述が面倒なので、G'をΔG/ΔXとさせてもらうと、
G' = 1 + ln(X) - 1 - ln(1-x)
= ln(X) -ln(1-x)
= ln(X/(1-X))
となります。
また、ΔGの値は0<X<0.5のときはG'<0のため減少し、
0.5<X<1のときはG'>0のため増加し、
G'=0となるXでΔGは最小となります。

そのXを求めると、
X/(1-X) = 1 → X = 0.5

これをΔGの式に当てはめると、
ΔG = (1/2)ln(1/2)+(1/2)ln(1/2)
=ln2^(-1)
=-ln2
となります。（記号^はべき乗を表してます）

-ln2の値は、関数電卓等で計算すると、およそ「-0.693」です。

解は-0.7となっていますが、
決してズバリ「-0.7」にはなりませんのでご注意を。

補足

回答ありがとうございます。
(1-x)ln(1-x)が-1-ln(1-x)になるのがわかりません。
-1*ln(1-x)+(1-x)*1/(1-x)=-ln(1-x)+1となるのですが・・・

回答No.2

Tacosan

微分が間違ってますよ. ln[x/(1-x)] だけになるはずです.
多分 (1-x)ln(1-x) の微分をするときに間違えてるんだと思う.

お礼

ありがとうございます。
ご指摘の点が間違ってました。

回答No.1

info22

> X*ln(X)の微分はX'*ln(X)+X*(ln(X))'ですよね？
括弧をつければあっています。
それでいいから、続きをやってd(ΔG)/ｄXを求め、増減表を作って
補足に書いてください。
範囲は、真数条件から0＜X＜1ですから、この範囲だけの増減表でOKです。

補足

回答ありがとうございます。
d(ΔG)/dx＝ln(x/(1-x))+2だと思うんですが。
求めたd(ΔG)/dx=0としてxを求めれば0.5になるんでしょうか・・・？