不存在の証明はかなり困難か不可能なもの？

質問

不存在の証明（悪魔の証明）はかなり困難か不可能なものだとされています。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%82%AA%E9%AD%94%E3%81%AE%E8%A8%BC%E6%98%8E

限定的な事柄でしたら、比較的に簡単かもしれませんが、ちょっとしたことでも不存在や非存在は、不可能・困難になるのだと思われます。

「何々が存在しない」などと、軽軽（けいけい）に書く不注意者は、この哲学カテにはいないと思いますが、注意深く考察すると、確かに存在しないと言えそうだなと思い付くもの・ことがありましたら、教えてください。

回答No.12

ri_rong

悪魔の証明が対象なので、まず現行の商法に従って、「非」と「不」の用語の確認をしておきます。不課税取引きとは、その取引が国外であるとか、税法支配を受けないといった規制範囲の外に所在する取引きで、それゆえ課税そのものが不可能な取引を言います。対して、非課税取引とは、規制範囲のなかで行われる取引のうち、控除その他の理由から課税されない取引を言います。
　この命名法に倣うと、不存在とは不可能な存在、非存在とは可能であるが存在しないという違いがお分かりになると思います。
　これは集合の要素が構成的か、非構成的かという違いにもなると思います。

　１．まず、構成的な場合について、
　排中律が成り立つということは、すべての人間は、生きているか、死んでいるかのどちらかであるということになります。

　２．つぎに非構成的な場合について、
　排中律が成り立つとしても、場合によっては矛盾が生じます。
　ご存知のように、実数は有理数と無理数からなっており、無理数の定義は、￢有理数です。ここには、排中律が成り立っています。無理数であり、有理数であるようなものはない。ところが、無理数に無理数を累乗したものは算術的に有理数になるが、実際は有理数にならない。有理数であり有理数でないものがあるというのは排中律に矛盾します。
　言い換えれば、要素が非構成的であれば、生きており死んでいる人間の存在と、生きておらず死んでもいない人間が存在することになる。前者をゾンビー、後者をゴーストと呼んだりすると思いますが、どこかで聞いたことはないでしょうか。

　ここまでをおさらいして、質問の回答に向かいたいと思います。

　まず、不存在は証明できない――の対偶を考えます。証明可能なのは、「存在するもの」なのでしょうか。非存在の――であれば、確かに「存在するもの」だと思います。けれど、不存在と呼ぶとき、それは存在可能性までを視野に含めています。２．に対して、果たして直観主義が正しく機能するでしょうか。
　その対偶が、「証明可能なのは存在可能なものである」となったとき、おそらくこれは、容易に真偽が区別できないと思われるのではないでしょうか。対して「非存在は証明できない」を真とする体系は、言い換えてみると輪廻転生を偽とする体系です。
　それゆえ、１．である場合、僕は下の補足にお書きになった「死」について、仰ることに同意いたします。

お礼

「まず、不存在は証明できない――の対偶を考えます。証明可能なのは、「存在するもの」なのでしょうか。非存在の――であれば、確かに「存在するもの」だと思います。けれど、不存在と呼ぶとき、それは存在可能性までを視野に含めています。」

不存在は、存在論的・哲学的で、非存在は、存在的・科学的だと僕は書きましたから、ご指摘のとおり、存在的・科学的に扱えるのは、非存在の方ではないかという回答者さまの視点は、まったく正しいと思います。そして、「それ（不存在）は存在可能性までを視野に含めて」いるという指摘も、まったく正しいと思います。

「２．に対して、果たして直観主義が正しく機能するでしょうか。
　その対偶が、「証明可能なのは存在可能なものである」となったとき、おそらくこれは、容易に真偽が区別できないと思われるのではないでしょうか。対して「非存在は証明できない」を真とする体系は、言い換えてみると輪廻転生を偽とする体系です。」

ここの記述も、僕の理解力を超えているので、なんとも言えないのですが、「非存在は証明できない」と言い切れますでしょうか？証明は困難ですが、不可能かどうかは、よく分かりません。

「それゆえ、１．である場合、僕は下の補足にお書きになった「死」について、仰ることに同意いたします。」

構成的で、排中律が成立する限りの意味で、賛成ということは、しっかりと受け止めました。ご回答、ありがとうございました。

補足

「不存在とは不可能な存在、非存在とは可能であるが存在しないという違いがお分かりになると思います。」

なるほど、不存在と非存在の区別は、面白いです。
前者には、可能性すらなく、後者には、可能性はあるけれども、現時点では存在していないだけという言い方ができそうです。
つまり、不存在は、存在論的・哲学的で、非存在は、存在的・科学的と言えるかもしれません。いかがでしょうか。

「これは集合の要素が構成的か、非構成的かという違いにもなると思います。」

不存在は、存在論的・哲学的で、非存在は、存在的・科学的という僕の視点とは違い、「構成的、非構成的」という分類も面白いです。

＞１．まず、構成的な場合について、
＞排中律が成り立つということは、すべての人間は、生きているか、死んでいるかのどちらかであるということになります。
＞２．つぎに非構成的な場合について、
＞排中律が成り立つとしても、場合によっては矛盾が生じます。

「ご存知のように、実数は有理数と無理数からなっており、無理数の定義は、￢有理数です。ここには、排中律が成り立っています。無理数であり、有理数であるようなものはない。ところが、無理数に無理数を累乗したものは算術的に有理数になるが、実際は有理数にならない。有理数であり有理数でないものがあるというのは排中律に矛盾します。」

ここの記述は、僕の理解力を超えているので、そのまま、鵜呑みにします。非構成的な集合においては、矛盾が生じるという点を、否定せず、肯定して前に進みます。

「言い換えれば、要素が非構成的であれば、生きており死んでいる人間の存在と、生きておらず死んでもいない人間が存在することになる。前者をゾンビー、後者をゴーストと呼んだりすると思いますが、どこかで聞いたことはないでしょうか。」

ここの記述も、なかなか面白いと思いました。ゾンビもゴーストもフィクションですから、矛盾していていいのですが、非構成的な要素から導かれるという指摘は、納得です。

続きは、お礼欄に書きます。