極限の問題

質問

極限の問題

この２つの極限の不等式とシグマの式の解き方を教えてください。

1/3^k を前に出して部分分数にしたんですが、そこから進みません。部分分数にするのはあってるんでしょうか？

回答No.4

tecchan22 · ベストアンサー

No3です．
ちょっと分かりにくかったかもしれませんので．

部分分数に分けるとき，1/3^kでくくってしまっては駄目ですよ．
それではΣは実行できないでしょう？
（それでうまくいく方法もあるかもしれませんが）

3^kも，それぞれの分母に分配するんです．
（それぞれの分母が，f(k),f(k+1)となるようにすると・・）

まあ答えですが，
1/{k・3^(k-1)} - 1/{(k+1)・3^k} を計算してみてごらん．

回答No.3

tecchan22

色々解き方はあるでしょうが，部分分数に分ける方向がまず思いつきますね．

ただ，3^kと k(k+1) を別々にして部分分数に分けたならば，足した（引いた）ときに分子を一次式にはなかなか出来ませんから，
kとk+1は当然別々にするとして，3^kも両方につけましょう．

もちろんkを一つずらすことに注意して．
（つまり，一方をk・3^kとしたら，もう一方は(k+1)・3^(k+1)というように．

その方向でちょっと試行錯誤してみるとよいですよ．

回答No.2

Tacosan

#1 の線で正解です. 部分分数にばらしたあとで, 第2項をじ～っと見るとわかる. わかんなかったら 3 で割って 3 を掛けてみる.
ちなみにその和は
log(1-x) = -x - x^2/2 - x^3/3 - ...
が使えて 3log (3/2) ではないでしょうか＞#1.

回答No.1

owata-www

(2k+3)/{3^k*k(k+1)}
=(1/3)^k * {3/k -1/(k+1)}
で、
Σ(1/3)^k * 3/kは
(1/3)^1 * (3/1) + (1/3)^2 * (3/2) +…
これを3倍にして
1*(3/1) + (1/3)^1*(3/2)…
あたりを使って出来ませんかね？計算がめんどそうなので確かめてませんが