- ベストアンサー
フルビッツの安定判別法
- みんなの回答 (5)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
- ベストアンサー
>この例では、(2) のほうが手軽ですね。 > arg{P(iy)} = atan[{y(9-y^2)}/(100-20y^2)] >{y(9-y^2)}/(100-20y^2) の零点と極とが交互に現れるならば、Hurwitz-安定です。 これは、Hurwitz 行列の H2 = |20 100| > 0 | 1 9 | の判定と等価です。 なお、 H3 = 100*H2 > 0 H1 = 20 > 0
その他の回答 (4)
再登場です☆ 四次多項式でも同じなのか?ということについて回答します。 その前に、ちょっと前回の回答に補足を加えて一般化します。 n次多項式D(s)=a[n]s^n + a[n-1]s^(n-1) + … + a[1]s + a[0] = 0 について、 "係数が全て正"という条件が成り立つもとでは、実はフルビッツ行列のk×k主座行列式は全て調べる必要がないことが知られています。まぁイコール0なので、全て負でも同じではありますが、説明の便宜上全て正とします。。ではどれを調べれるのかというと、 n=2kの時、奇数の行列式(H3,H5,…)が全部,正であること。 n=2k+1の時、偶数の行列式(H2,H4,…)が全部,正であること。 を調べればよいのです。(これが、安定性の必要十分条件) というわけで、フルビッツ安定判別法が簡略化できます。 まぁ知らなくても問題解けるので、前回は補足みたいな感じでチョロっと述べました。 さて、では4次多項式 D(s)=s^4+a[3]s^3+a[2]s^2+a[1]s+a[0]=0が安定となる(つまり、この解の全ての実部が負になる)条件を、上の結果を使って求めてみましょう。 まず、s^4の係数が正なので、とりあえずa[3],a[2],a[1],a[0]は正でなくてはなりません(これは、安定であるための必要条件にしかすぎません)。 ここで、フルビッツ行列を書きますと H= (a[3] a[1] 0 0) (1 a[2] a[0] 0) (0 a[3] a[1] 0) (0 1 a[2] a[0]) です。H2とかH4なんてみなくても H3= |a[3] a[1] 0| |1 a[2] a[0]| |0 a[3] a[1]| =a[1](a[3]a[2]-a[1])-a[0]a[3]^2>0 が成立しれいれば安定であるといえます。(もちろんa[0]~a[3]>0ですよ)
ここで、行列どう書いたらいいのかわかんないですが^^; とりあえずフルビッツ行列Hは↓のようにかけますよね。 (20,100, 0 ) (1 , 9 , 0 ) (0 , 20,100) これの主座小行列式が全て正であることを示せれば、安定です。必要十分条件なので、そうでなければ不安定です。 ということで、 H1=|20| H2=|20 100| |1 9| H3=|20 100 0 | |1 9 0 | |0 20 100| が全て正であることを示せれば安定です。 丸投げ禁止のようなので、あとはご自分で頑張ってください。 ちなみにですが、この問題では3次多項式の係数が全部正なので、実はH1,H3なんかみなくてもH2が正であるかいなかだけで、安定かどうかが判定できます。
訂正! -------------------------------- この例では、(2) のほうが手軽ですね。 arg{P(iy)} = atan[{y(9-y^2)}/(100-20y^2)] {y(9-y^2)}/(100-20y^2) の零点と極とが交互に現れるならば、Hurwitz-安定です。
お礼
参考意見ありがとうございました。 大変参考になりました。 もう一度がんばってみます。
複素平面で、 P(z) = z^3 + 20z^2 + 9z + 100 としましょうか。 (1) P(z) の零点が z-平面の左半分にあれば、Hurwitz-安定。 (2) 虚軸上での P(z) の偏角(arg) が単調増大の区間だけならば、Hurwitz-安定。 この例では、(2) のほうが手軽ですね。 arg{P(iy)} = atan[{y(9-y^2)}/(100-20y^2)] (100-20y^2)/{y(9-y^2)} の零点と極とが交互に現れるならば、Hurwitz-安定です。
関連するQ&A
- フルビッツの安定判別法について
1/(s^3+14s^2+K_2+K_1)を安定させたい時のK_1、K_2の領域をフルビッツの安定判別法を用いて求めよ。という問題があるのですが、 答えは14*K_1*K_2 - K_1^2 > 0 でいいのでしょうか? これ以上求められない気がするのですが。 解説よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 科学
- ナイキストの安定判別
現在、古典制御の勉強をしている学生です。 ナイキストの安定判別法を勉強して、理論を一通り理解(?)でき、演習問題も解けるようになりました。 ただ、どうしても、ナイキストの安定判別法について数式・理論は理解できても"イメージ"ができません。 「伝達関数」、「周波数応答」、「ボード線図」、「一次遅れ」、などは、数式・理論に加えて、イメージでも理解しやすく、頭にスッと入ってきました。 しかし「ナイキスト線図」だけはイメージがまったくできません。 たとえば、「閉ループ伝達関数の極がs平面の左半面に存在する場合、ベクトル軌跡が(-1,j0)点をその左側にみれば安定、右側にみれば不安定」とありますが、 何をいってるのかは理解できました。しかし、「なぜ左側に見れば安定なの?」「なぜ右側だったら不安定なの?」「左側、右側からなぜ安定性がわかるのか」がイメージできません。 ナイキスト安定判別のイメージ(概念?)について、どなたか詳しく教えていただけないでしょうか? もしくは、わかりやすいサイトがあれば教えていただけないでしょうか?
- 締切済み
- 科学
- 判別式の求め方とCについて
判別式の求め方と、組み合わせを求める時につかうCの答えの求め方が分かりません。 判別式については、 不等式x(2)-2x>kx-4の解が全ての実数であるような定数kの値の範囲を求めよ。という問題で出てきたのですが、判別式の求め方をすっかり忘れてしまいました;Dとかを使う、というのは覚えているのですが… (ちなみに、上の式のxの後にある(2)というのは2乗という意味です) Cの求め方も本当に忘れてしまいました。 5C3とある場合、どのように計算したらいいでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ボード線図による安定性判別
ボード線図を用いて安定性判別を行いたいのですが、書籍を調べると、 ゲイン交差角周波数(ゲインが1となるときの角周波数)ωGにおける位相が -180°以下のときは不安定である、と書いてありました。 これは、位相が-180°以下にならないようなものは絶対に安定であるということでしょうか。 例えば、伝達関数G(s)=1/(s+1)はボード線図を用いなくとも明らかに安定ですが、 ボード線図から安定性を判別せよ、と言われたら、位相が-180°以下にならないので安定である、という答え方でいいのでしょうか。 もう1つ同じような質問ですが、今度はG(s)=1/(s-1)を考えると、 これは不安定ですが、位相線図を描くと0°~90°の値を取り、 位相が-180°以下にならずに、-180°以下のときは不安定であるという 説明をそのまま受け取ると安定、と判別したくなってしまうのですが、 0°~90°ということは、-360°~-270°であると読み替えて、 常に-180°以下であるので不安定である、と解釈してもよいのでしょうか。 分かりにくい質問かもしれませんが、ご存知の方いらっしゃいましたら ご教授下さい。
- ベストアンサー
- 物理学
- ラウスの安定判別法
こんにちわ。現在学校でラウスの安定判別法を勉強しています。 そこでの練習問題なのですが、 s^5+2s^4+3s^3+6s^2-4s-8=0の安定性を調べよという問題です。 係数を書き出すと s^5行 1 3 -4 s^4行 2 6 -8 で、s^3行が00となってしまいます。インターネットで調べたところ こんなページが見つかり、http://csx.jp/~imakov/control/node13.html 一番下のところで、要素がすべて0になる時には微分を用いた方法が紹介されているのですが、これがよくわかりません。 このページではs^2の要素数が2個なので、3個のときはどうするのか、特性方程式を4s^2+4とするようになっていますが、この場合の特性方程式は?2列目以降はどうするのか?ということがわかりません。 お願いします。
- ベストアンサー
- 科学
- 何でこのときに判別式が使えるのか?
次の問題で、何でこのときに判別式が使えるのか?というのがまったくわかりません。 y=e^{-x^2}(富士山のような外形が書いてあります。)において、A(a,0)から2本の接線が引けるようなaの値の範囲を求めよ。という問題です。接点を適当にtなどであらわし、微分して、最終的に接線の方程式をtとxとyであらわし、そこにA(a,0)を代入します。ここまではわかります。 でも代入した式において判別式を使います。何でここで判別式が使えるのか、と疑問に思う理由は2つあります。(1)2次関数などとはまったく違う関数で、直線との共有点は3つになりえる(2)後は漠然と何でつかえるのかということですが、これはあえて言えば「なぜy,xであらわされていなく、しかもそこに自分でおいたtの値やaを代入したものなのに、判別式が使えるのか」ということです。tはなんかの関数だからでしょうか。まったくわかりません。 どなたか教えてください。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 判別式の使用法 数学I
以下の数学Iの問題を2時間考えてみましたがまったくわかりません。どなたか教えてください。 よろしくおねがいいたします xの2次方程式x^2-kx+k+1=0が整数解を持つように整数kの値をもとめよ 判別式D=k^2-4k-4が何かの2乗になればいいのかなとおもったのですが、きちんとした回答の書き方がよくわかりません よろしくおねがいします
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
すいません 4次多項式でも同じ様な計算になるのでしょうか?