常微分について

質問

お世話になりますm(_ _)m

先ほどネット上で常微分の解き方を調べていたのですが、
「(1) y``+7y`+10y=0」という問題において下記のような解法がありました。

この手の問題は
y = C e^λx = C exp(λx)
とおいて、λを決める。

(1)
微分方程式に代入すると、
(λ^2+7λ+10)y = 0
y=0は自明なので、

λ^2+7λ+10 = 0

これを解くと、
λ = -2, -5
なので、

y = C_1 = e^(-2x) + C_2 e^(-5x)

が求める解。

この方法をつかって「y''+2y'+3y=0」の問題を解いてみたのですが実際の解答とはほど遠い答えになってしまいました・・・。
（そのまま解くとλ＝-1±√-4となるのですが・・・）

答え）y=e^(-x)[C_1(cos√2x)+C_2(sin√2x)]

上記のようになるのはなぜでしょうか・・・？

よろしくお願い致しますm(_ _;)m

回答No.6

info22 · ベストアンサー

#4です。
A#4の補足に関連して
少し常微分方程式の解法の1通りの教科書や参考書で復習された方がいいかと思います。
そうすれば次のような基礎的な質問をしなくても済みます。
非斉次微分方程式の解は
斉次微分方程式（同次微分方程式）の一般解と
非斉次微分方程式の特殊解（特解）
との和となる。
ということをまず頭に入れてください。
>y''=e^(2x)
この斉次微分方程式
y''=0の一般解は
y1=C_1+C_2x
特殊解はy2=ae^(2x)とおいて方程式に代入してa,bを決定することにより求まる。a=1/4,y2=(1/4)e^(2x)

>y''+4y=cos3x+3sin3x
この斉次微分方程式
y''=0の一般解は
y1=C_1cos(2x)+C_2sin(2x)
特殊解はy2=a*cos(3x)+b*sin(3x)とおいて方程式に代入してa,bを決定することにより求まる。a=-1/5,b=-3/5

以下URLや教科書・参考書を参考に一通り勉強されることをお勧めします。
http://www.tsuyama-ct.ac.jp/matsuda/d-eq/bi2.pdf
http://www.tsuyama-ct.ac.jp/matsuda/d-eq/bi3.pdf
http://www.geocities.jp/tc205ki/dfdata/dfeq.html#tr2a

回答No.5

owata-www

＞y''=e^(2x)やy''+4y=cos3x+3sin3xなどという問題もあるのですがこの場合は上記のような特性解を求める方法ではできないのでしょうか？

ここら辺を参考に
http://www.tsuyama-ct.ac.jp/matsuda/d-eq/bi3.pdf

回答No.4

info22

y''+2y'+3y=0
特性方程式
λ^2+2λ+3 = 0
解いて
λ＝-1±i√2
A_1,A_2を任意定数として
y = A_1 e^(-x+ix√2) + A_2 e^(-x-ix√2)
= A_1 e^(-x)e^(ix√2) + A_2 e^(-x)e^(-ix√2)

ここで参考URLのオイラーの公式：
e^(iu)=cos(u)+i sin(u)
e^(-iu)=cos(u)-i sin(u)
を適用すると

y=e^(-x)[C_1(cos√2x)+C_2(sin√2x)]
が得られます。
ここで, C_1=A_1+A_2、C_2=(A_1-A_2)i

参考URL：

http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/euler/

お礼

オイラーの公式からsinなどが出てくるのですね！
無事謎が解けました！

ですがこれは右辺が0ではないとき、

y''=e^(2x)
y''+4y=cos3x+3sin3x

などという問題もあるのですがこの場合は上記のような特性解を求める方法ではできないのでしょうか？

回答No.3

owata-www

まず、
λ＝-1±√-4
ではなくて、λ＝-1±√-2　です。

これは実数ではないことはお分かりかと思います。λ＝-1±√2 iとなります。
すると、答えは
y = e^(-x)*{c1*e^(√2 ix) + c2*e^(-√2 ix)}となります。
ここでオイラーの公式
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F
から、
e^(√2 ix)= cos√2x +sin√2x
e^(-√2 ix)= cos√2x -sin√2x
となり、
y = e^(-x)*{c1*e^(√2 ix) + c2*e^(-√2 ix)}
　= e^(-x)*{(c1+c2)cos√2x + (c1-c2)sin√2x}
ここで、c1+c2=C_1 ,c1-c2 =C_2とおけば

y=e^(-x)[C_1(cos√2x)+C_2(sin√2x)]

となります。

お礼

√-2でしたねｘ＿ｘ；

このsinやcosはオイラーの公式から来ていたのですね！
今オイラーの公式を確認したら無事謎が解けました！

ですがこれは右辺が0のときしか使えませんよね・・・？

y''=e^(2x)やy''+4y=cos3x+3sin3xなどという問題もあるのですがこの場合は上記のような特性解を求める方法ではできないのでしょうか？

回答No.2

R_Earl

> この方法をつかって「y''+2y'+3y=0」の問題を解いてみたのですが実際の解答とはほど遠い答えになってしまいました・・・。
> （そのまま解くとλ＝-1±√-4となるのですが・・・）

λ^2 + 2λ + 3 = 0をλについて解くと、
λ = -1 ± √(-2) = -1 ± (√2)iになるはずです。

最終的な答えにsinやcosがでる理由ですが、
これはe^(iθ) = cosθ + isinθを利用するからです。

λ = -1 + (√2)iの時、

e^(λx)
= e^{ -x + (√2)ix}
= { e^(-x) }[ e^{ (√2)ix } ]　　（e^(a + b) = (e^a)(e^b)を使いました）
= { e^(-x) }[ cos{ (√2)x } + isin{ (√2)x } ]　　（e^(iθ) = cosθ + isinθを使いました）

となります。

回答No.1

happy2bhardcore

＞そのまま解くとλ＝-1±√-4となるのですが・・・

計算ミスじゃないですか？
ルートの中がマイナスになるなんてことはないはずです。