連立微分方程式について

質問

連立微分方程式を勉強しているのですが、少しわからないところがあるので今回質問させて頂きました。
添付データの一行目の数式の連立微分方程式を解きたいのですが、
テキストの回答欄には
「二行目と三行目は任意のt,sに対して可換であるため、
四行目のようになる」
という説明書きがあるのですが、意味がよくわかりません…。
それがどう四行目につながっているのかも、意味不明です。。。

五行目では、exp(2t)をくくりだしているのはわかるのですが、
二個目の行列の中の-costが-cost/exp(2t)でないのはどうしてでしょうか？

かなり初歩的なところで躓いていると思いますので、お手数ですが詳しく教えて頂ければ嬉しいです。
よろしくおねがいしますm(_ _)m

回答No.1

ojisan7

ちょっとだけヒントを与えます。あとはご自分で考えてください。

>二行目と三行目は任意のt,sに対して可換であるため

可換でないと、行列の冪乗に指数法則が適用できません。

>-costが-cost/exp(2t)でないのはどうしてでしょうか

行列の冪乗は対角行列と冪零行列の和に分解して計算します。ですから、結果的に、添付データのような計算が成り立ちます。

一般的に行列の冪乗を論じるには、Jordan標準形の知識が必要です。

補足

ご回答ありがとうございます。

「二行目と三行目は任意のt,sに対して可換であるため、
四行目のようになる」

よく考えてみたところ、これは納得することができました。

＞行列の冪乗は対角行列と冪零行列の和に分解して計算します。
＞ですから、結果的に、添付データのような計算が成り立ちます。
＞一般的に行列の冪乗を論じるには、Jordan標準形の知識が必要です。

ジョルダン標準系ですか。。。いろいろ考えているともうちょっとでわかりそうなんですが。。。
線形代数を復習する必要があるようですね…（＾＾；）