この連立方程式を解いてください!!

質問

この連立方程式を解いてください!!

x^(2/3)+y^(2/3)=2^(2/3)　　…(1)
y=(-tan80°)(x-1/2)-√3/2　…(2)

ちなみに
(1)はx=2(cost)^3, y=2(sint)^3
と媒介変数ｔを用いて媒介変数表示できます。

この連立方程式を解くのは、かなり難しいと思います。
ですから、例え解けなくても、どのように解いていけば良いのかを教えてもらえるだけでも助かります。
あるいは、この方程式は解けないとか…

(1)、(2)から（x,y）を求めてください。
よろしくお願いします。

回答No.14

Mr_Holland · ベストアンサー

＃９／＃１１です。

＞また、もし無理数表記や、有理数表記ができるのなら、小数ではなく、そちらでお願いします。

　接点の座標は（　2{cos(4π/9)}^3, 2(sinα{4π/9)}^3　）より簡単に表記することができないようです。
　というのは、cos80°, sin80°, tan80°を実数表記できないようだからです。

　ちなみに、与えられた連立方程式で　X=x^(1/3), Y=y^(1/3) と変数変換したとき、Xは次の6次方程式の解となっています。

　　f(X)≡　X^6-3*2^(2/3) (cosα)^2 X^4-(cosα+1/2)X^3+3*2^(4/3)(cosα)^2 X^2-4(cosα)^4 =0

　ここで、X=2^(1/3)cosαが重根を持つことを天下り式に利用すると、f(2^(1/3)cosα)=f'(2^(1/3)cosα)=0 であることから確かめられ、次のように因数分解できるようです。

　　f(X)={X-2^(1/3)cosα}^2 {X^4+2*2^(1/3)cosαX^3-4cosαX-2*2^(1/3)(cosα)^2}

　あとは　{X^4+2*2^(1/3)cosαX^3-4cosαX-2*2^(1/3)(cosα)^2}　が因数分解できれば完璧なんですがね。＞inaraさん

　最後に、ANo.9&11で誤記がありましたので、訂正します。

＞　　p^2 {1+(tanα)^2}=4,　　　　　　・・・・(4)
（正）p^2 {1+(tanα)^2}^3=4,　　　　　　・・・・(4)

　なにがしかのお役に立てれば・・・

お礼

回答ありがとうございます。

リクエストに丁寧に答えていただき、とても助かります。

回答No.16

inara

＞{X^4+2*2^(1/3)cosαX^3-4cosαX-2*2^(1/3)(cosα)^2} が因数分解できれば
手持ちの数式処理ソフト（Maple、wxMaxima）では因数分解できませんでした（元の式が返ってくるだけ）。X が有理数の場合の解も探してみましたがダメでした。
x = 2*{ cos(α) }^3, y = 2*{ sin(α) }^3
で十分な精度で計算できるのでこれで良いと思いますが・・・

お礼

回答ありがとうございます。

本当に助かります。
解がわかりました。
本当にベストアンサーをどれにしようか悩む…

回答No.15

178-tall

接線方程式とわかった上での、解の照合(ズル)です。

曲線： x^(2/3) + y^(2/3) = 2^(2/3) へ傾斜： k = -tan(80 deg) で接線を引いたときの接点 Xt を求めてみると、
　Xt = 2/(1+k^2)}^(3/2) = 0.0104722665003955

--- cf. ----
>結果例：0.0104722639975669　(24 回目)
>スプレッドシート (単長桁) だと、0.010472263 ～ 0.010472270 の範囲で f(x) = 0E+00 になる。

原題のように、曲線と接線の連立形で解くと、解の精度が劣化するのは不可避。

お礼

回答ありがとうございます。

やはり、スプレッドシートがよくわかりません…
これは常識なのでしょうか・・・

回答No.13

inara

第一象限の解は、Mr_Holland さん（ = ベストアンサー）の解析解
　　　x = 2*{ cos(α) }^3, y = 2*{ sin(α) }^3
が正解ですね。、α = 80 [度] = 80/180*π [rad] として計算してみてください。結果が多桁数値になるのでここには書きませんが。

お礼

回答ありがとうございます。

わかりました…

回答No.12

178-tall

接線方程式とわかるとズルしたくなるけど、とりあえずシカとして、Newton の代案。

>　x^(2/3) + y^(2/3) = 2^(2/3)
>　y = -tan(80 deg)*x + {tan(80 deg) - √3}/2

連立のまま、一次微係数 Newton を強行しても、収束しにくい。
…ので代入法を試行。

下式を上式へ代入。
　f(x) = x^(2/3) + (tan(80 deg)*x + {tan(80 deg)-√3}/2)^(2/3) - 2^(2/3)
これの零点を一次微係数 Newton 法で追い込むのが速い。
初期ポイント： 0 < x < {1 - √3/tan(80 deg)}/2 からスタートして、二十数回で収束。
結果例：0.0104722639975669　(24 回目)
スプレッドシート (単長桁) だと、0.010472263 ～ 0.010472270 の範囲で f(x) = 0E+00 になる。

お礼

回答ありがとうございます。

なんだか、僕にはわからない難しいことをやってますね…

回答No.11

Mr_Holland

inaraさん、コメントありがとうございます。
　多数桁表示のせいだったのですね。

　改めて多数桁の部分を省いて、ANo.9の内容を下記に記します。

＞グラフからもわかる通り、実は、接線なのです。

　やはりそうでしたか。
　接線であることを示すことができなかったので控えていましたが、この条件を加えれば解析的に計算することができます。

　式(1)の両辺をｘで微分しますと、次の関係が得られます。
　　dy/dx=-(y/x)^(1/3)

　ここで接点(p,q)ではその傾きが-tan80°(-tanα)ですので、次の関係が得られます。
　　-(q/p)^(1/3)=-tanα
　∴q=p(tanα)^3

　この関係を式(1)に代入すると、
　　p^(2/3)+p^(2/3) {(tanα)^3}^(2/3)=2^(2/3)　　・・・(3)
となります。
　ここで、1の3乗根をω±=(-1±i√3)/2　としますと、式(3)は次のように変形できます。

　　p^2 {1+(tanα)^2}=4,　　　　　　・・・・(4)
　　p^2 {1+(ω±)^2 (tanα)^2}^3=4　　・・・・(5)

　今、求める接点は第1象限(p>0,q>0)にありますが、その点は式(4)の解ですので、式(4)だけを解くことにします。

　式(4)からは次の解が得られます。

　　p=2(cosα)^3　（∵p>0)　　　　・・・・(6)

　これを式(1)に代入して、接点のｙ座標ｑが次のように得られます。

　　q=2(sinα)^3　（∵q>0)　　　　・・・・(7)

　α=80°で接点(p、q)の座標を求めますと、＃８さんの数値計算と一致します。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.10

inara

第一象限の解が接線というところから、ANo.9 さんが回答されていのかもしれませんが、サポート確認中ですね。リニューアルされてからだと思いますが、多桁の数字が含まれていると、機械的に「サポート確認中」となって、１日程度は回答が表示されません（電話番号かどうかは見ればすぐに分かると思いますが)。

第一象限の解が接線ということは、 ( 1 + b^2 )*Z^6 - 3*a^(1/3)*b^2*Z^4 - 2*( b*c + d )*Z^3 + 3*a^(2/3)*b^2*Z^2 + b^2*c^2 + 2*b*c*d + d^2 - a*b^2 = 0 の解 Z が重根を持つということですが、その場合、上式は ( Z - z0 )^2*( Z - z1 )*( Z - z2 )*（Z^3 の多項式：= 0 は実数解を持たない）に因数分解できるということでしょうか。そのような形になるのは、 a, b, c, d 特定の数値の場合に限られると思いますがちょっと考えてみます。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.9

Mr_Holland

＞グラフからもわかる通り、実は、接線なのです。

　やはりそうでしたか。
　接線であることを示すことができなかったので控えていましたが、この条件を加えれば解析的に計算することができます。

　式(1)の両辺をｘで微分しますと、次の関係が得られます。
　　dy/dx=-(y/x)^(1/3)

　ここで接点(p,q)ではその傾きが-tan80°(-tanα)ですので、次の関係が得られます。
　　-(q/p)^(1/3)=-tanα
　∴q=p(tanα)^3

　この関係を式(1)に代入すると、
　　p^(2/3)+p^(2/3) {(tanα)^3}^(2/3)=2^(2/3)　　・・・(3)
となります。
　ここで、1の3乗根をω±=(-1±i√3)/2　としますと、式(3)は次のように変形できます。

　　p^2 {1+(tanα)^2}=4,　　　　　　・・・・(4)
　　p^2 {1+(ω±)^2 (tanα)^2}^3=4　　・・・・(5)

　今、求める接点は第1象限(p>0,q>0)にありますが、その点は式(4)の解ですので、式(4)だけを解くことにします。

　式(4)からは次の解が得られます。

　　p=2(cosα)^3　（∵p>0)　　　　・・・・(6)

　これを式(1)に代入して、接点のｙ座標ｑが次のように得られます。

　　q=2(sinα)^3　（∵q>0)　　　　・・・・(7)

　α=80°で接点(p、q)の座標を求めますと、次のようになり、＃８さんの数値計算と一致します。

　　p=0.010472267
　　q=1.910224331

お礼

回答ありがとうございます。

すばらしい回答ですね!!

回答No.8

inara

グラフをよく見たら第一象限にも解がありました。
　　　x = 0.0104722720814259, y = 1.91022429975894

お礼

回答ありがとうございます。

書き忘れていたのですが
グラフからもわかる通り、実は、接線なのです。

では、これが回答ということでいいでしょうか…

やはり、小数でしか、表せないのでしょうか…

回答No.7

inara

ANo.3です。正しい式
　　　x^(2/3) + y^(2/3) = 2^(2/3)
　　　y = -tan(80度)*( x - 1/2 ) - √(3)/2
の数値解を求めると以下のようになりました。
　　　x = -0.0133170744864648672062340163178、y = 1.97716799426697442341390767408
　　　x = 0.510267929048519977933501742910、y = -0.924257723122434564113118037065
x ＞ 0 かつ y ＞ 0 の解はなさそうです。

問題を一般化して
　　　x^(2/3) + y^(2/3) = a^(2/3)
　　　y = b*( x + c ) + d
の解 x, y を求めるなら
　　　x = - c + ( Z^3 - d )/b、y = Z^3
　　　Z は ( 1 + b^2 )*Z^6 - 3*a^(1/3)*b^2*Z^4 - 2*( b*c + d )*Z^3 + 3*a^(2/3)*b^2*Z^2 + b^2*c^2 + 2*b*c*d + d^2 - a*b^2 = 0 の実数解
となるようです。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.6

178-tall

>初期近似解を変えてみると、
>　x = 0.0109 .....
>　y = 1.9080 .....
>へ収束します。
　　↑
これは、シート関数の誤用によるミスでした。

更正させたところ、
　　　↓
　x = -0.001332 .....
　y = 1.977168 .....
あたりへ収束。

ただし、負数の三乗根は負数を採用。

お礼

回答ありがとうございます。

なんだか,No.5さんの回答と同じ答えがありますね!!

補足

みなさん、回答ありがとうございます。

（ｘ、ｙ）の値ですが、
ｘ＞0、Ｙ＞0でお願いします。

また、もし無理数表記や、有理数表記ができるのなら、
小数ではなく、そちらでお願いします。