曲線の長さ

質問

媒介変数表示された曲線の長さがわかりません。問題は下記の通りです。
x=a(t-sint),y=a(1-cost) (0<=t<=2π)

回答No.1

sanori

こんばんは。

ｄｘ／ｄｔ　＝　ａ（１－cosｔ）
ｄｙ／ｄｔ　＝　ａsinｔ

曲線の長さ　＝　∫[x=0→2πa] √（ｄｘ^2　＋　ｄｙ^2）
　＝　∫[t=0→2π] √［｛ａ（１－cosｔ）ｄｔ｝^2　＋　｛ａsinｔ ｄｔ｝^2 ］
　＝　｜ａ｜∫[t=0→2π] √［｛（１－cosｔ）｝^2　＋　（sinｔ）^2 ］｜ｄｔ｜
　＝　｜ａ｜∫[t=0→2π] √［（１－２cosｔ＋（cosｔ）^2｝　＋　（sinｔ）^2 ］｜ｄｔ｜
　＝　｜ａ｜∫[t=0→2π] √（２－２cosｔ）｜ｄｔ｜
　＝　√２・｜ａ｜∫[t=0→2π] √（１－cosｔ）｜ｄｔ｜

となりますから、
∫ √（１－cosｔ）ｄｔ
が計算できればよいということになります。

ご参考に。

お礼

有難うございます。
大変わかりやすい説明でした。