集合 分配則

質問

集合論なのですが、
(A^c∨B)∧(B＾c∨C)∧(C^c∨A)=(A∧B∧C)∨(A＾c∧B＾c∧C＾c)
を分配則を使い証明しようとしています。
しかし、左辺のそれぞれの括弧内の左側集合が異なるため、
最初の分配則の適用をどのように考えればよいか、見当がつきません。
指針をいただけないでしょうか。
よろしくお願いします。

回答No.1

arrysthmia · ベストアンサー

集合算では、∧ と ∨ は対称的（双対と呼ぶ）なのですが、
対称に捉えていては、何を目指して式変形したらよいのか
方針が見えてきません。そこで、（と言ったら言い過ぎか…）
∧ を「論理積」、∨ を「論理和」と呼びます。
流派によっては、(A^c∨B)∧(B^c∨C)∧(C^c∨A) を
(A^c＋B)(B^c＋C)(C^c＋A) と書くこともあります。
このように考えると、
右辺は、既に括弧が展開された形になっていますね。
∧ と ∨ は双対ですから、∧ が和で ∨ が積でもかまわない
ハズですが、慣習上、上記のように呼ぶことになっています。
空集合を 0、全体集合を 1 と考えたいからだと思います。

ところで、
この例題のように、登場する集合の数が少ない場合には、
式変形をするよりも、真理表を書いて証明するほうが簡単です。

お礼

回答有難うございました。
∨、∧は論理和、論理積で、集合は普通の演算と同じように考えられるのですね。
大変参考になりました。
真理表の解法にも興味があります。
取り組んでみたいと思います。
有難うございました。

回答No.2

fusem23

こういうのは、とにかく括弧を外すとなんとかなります。
すると最終的には、（？∧？∧？）∨（？∧？∧？）∨…という形にできます。
＃文字式の展開と同じです。∧→×、∨→＋と考えてください。
両辺がそうなっていなかったら、両方やって比較するだけです。
その際に、(A^c∧A)などの項が出てきたら削除します。

お礼

回答有難うございます。
空集合のでる項を削除することで、解決
いたしました。
有難うございました。