集合演算

質問

今、集合の問題の証明問題をやってるのですが・・・・・解けているのかどうかわかりません。
差集合は小文字のｃであらわしています。Ａｃ＝Ａの補集合
１．Ａ∩（Ｂ－Ｃ）＝（Ａ∪Ｂ）―（Ａ∩Ｃ）
これは分配律を使えば速効で解けるのですが、差集合に分配律ってつかえないっすよね？
２．（Ａｃ∩Ｂｃ）∪（Ｂｃ∩Ｃ）∪（Ａ∩Ｃｃ）＝Ｂ∪（Ａ∩Ｃｃ）
これは一応ド・モルガンの法則を用いて
Ｂｃ∩（Ａｃ∪Ｃ）∪（Ａ∩Ｃｃ）としたんですがそのあとが処理できずに困ってます。
３．（Ａ∩Ｂ∩Ｃ）∪（Ａ∩Ｂｃ∩Ｃ）∪（Ａ∩Ｂ∩Ｃｃ）＝Ａ
これは分配律を使って無理やり
Ａ∩[（Ｂ∪Ｃ）∪（Ｂｃ∪Ｃ）∪Ｃｃ]
としたのですがこの変換は間違ってますか？？どちらにせよこの先の展開ができないです。
４．（Ａ∩Ｂ∩Ｃ）∪（Ａ∩Ｂ∩Ｃｃ）∪（Ａ∩Ｂｃ∩Ｃ）＝Ａ（Ｂ∪Ｃ）
とりあえず
左辺＝Ａ∩[（Ｂ∩Ｃ）∪（Ｂ∩Ｃｃ）∪（Ｂｃ∩Ｃ）]←分配律
　　＝Ａ∩（Ｂ∪Ｂ∪Ｂｃ）∪（Ｃ∪Ｃｃ）
　　＝Ａ∩（Ｂ∪Ｃ）
としてみたのですが・・・・・・・・。

５．（Ａ∪Ｂ∪Ｃ）∩[Ａ∪（Ｂ∩Ｃ）]＝Ａ∪（Ｂ∩Ｃ）
これは
[]内を
（Ａ∪Ｂ）∩（Ａ∪Ｃ）←分配律
で展開したのですが・・・・そのあとが処理できません。
６．（Ａ∩Ｂ∩Ｃ）∪（Ａｃ∩Ｂ∩Ｃ）∪（Ａ∩Ｂｃ∩Ｃ）（Ａ∩Ｂ∩Ｃｃ）＝（Ａ∩Ｂ）∪（Ｂ∩Ｃ）∪（Ａ∩Ｃ）
これはもう完全にわからないです・・・・・。

途中の使った法則を入れてくれるとありがたいです。

回答No.2

Tacosan · ベストアンサー

2:
(Ac∩Bc)∪(Bc∩C) = Bc∩(Ac∪C) = Bc∩(A∩Cc)c
と
X∪(Xc∩Y) = X∪Y
を使えば OK.
3:
(A∩B∩C)∪(A∩Bc∩C) = (A∩C)∩(B∪Bc) = A∩C.
1: 卑怯だけど, 「右辺から左辺を導く」ことができればその逆を書くだけ (右辺の A∪B は A∩B ですよね?).
(A∩B) - (A∩C) = (A∩B)∩(A∩C)c
= (A∩B)∩(Ac∪Cc) = (A∩B∩Ac)∪(A∩B∩Cc)
= A∩(B∩Cc) = A∩(B-C)

回答No.1

Tacosan

なんか, 一部の問題がおかしいような気がします.
例えば 1 など, 左辺の A∩(B-C) は A の部分集合ですけど, 右辺の (A∪B) - (A∩C) は A の部分集合とは限らないです.
2, 3 もおかしな感じ. あ, よく見たら 3 と 4 の左辺が同じだ.
4 は
Ａ∩[（Ｂ∩Ｃ）∪（Ｂ∩Ｃｃ）∪（Ｂｃ∩Ｃ）]←分配律
＝Ａ∩（Ｂ∪Ｂ∪Ｂｃ）∪（Ｃ∪Ｃｃ）
のところがよくわかりません. [] 内の処理は
(B∩C)∪(B∩Cc)∪(Bc∩C) = [(B∩C)∪(B∩Cc)]∪[(B∩C)∪(Bc∩C)] = B∪C
とするのが普通かな.
5 は, そこを展開しちゃダメで,
(A∪B∪C)∩[A∪(B∩C)] = A∩[B∪C∪(B∩C)] でしょう.
6 は 4 の [] 内の処理の応用です.
いずれにしても, 問題がおかしいような気がするので直した方がよいでしょう.

補足

すみませんでした。
２．（Ａｃ∩Ｂｃ）∪（Ｂｃ∩Ｃ）∪（Ａ∩Ｃｃ）＝Ｂｃ∪（Ａ∩Ｃｃ）
３．（Ａ∩Ｂ∩Ｃ）∪（Ａ∩Ｂｃ∩Ｃ）∪（Ａ∩Ｃｃ）＝Ａ
４．（Ａ∩Ｂ∩Ｃ）∪（Ａ∩Ｂ∩Ｃｃ）∪（Ａ∩Ｂｃ∩Ｃ）＝Ａ∩（Ｂ∪Ｃ）

ですね。すいませんでした。