集合演算について

質問

集合演算について質問なのですが、

加法定理といえば
　　　　P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
ですが
事象がもう１つ”C”が増えた場合

　　　　P(A∪B∪C)= P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(A∩C)-P(B∩C)

こんな式でよいのでしょうか？

回答No.3

noname#101087 · ベストアンサー

加法定理
　　P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
を前提にして、
　　P(A∪B∪C)
を勘定すればよいのですね。

　　P(A∪B∪C)=P(A)+P(B∪C)-P{A∩(B∪C)}
そして
　　P(B∪C)=P(B)+P(C)-P(B∩C)
また
　　A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
　　(A∩B)∩(A∩C)=A∩B∩C
だから
　　P{A∩(B∪C)}=P{(A∩B)∪(A∩C)}=P(A∩B)+P(A∩C)-P(A∩B∩C)

以上を利用して
　　P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(A∩C)-P(B∩C)+P(A∩B∩C)
となります。

これって、#2さんの答えですね。

お礼

返信ありがとうございました。
細かく説明され、とても分かりやすく光栄です。

すいません。ついでになんですが、

加法定理
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
が成り立つのならば
当然
P(A∩B)=P(A)+P(B)-P(A∪B)
も成り立つのでしょうか？

回答No.4

noname#101087

>加法定理
>P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
>が成り立つのならば
>当然
>P(A∩B)=P(A)+P(B)-P(A∪B)
>も成り立つのでしょうか？

移項しただけですね。

お礼

いろいろありがとうございました＾＾

確かに移項しただけですので、それは成り立ちますよね・・・・
変な質問して申し訳ないです。

ありがとうございました。

回答No.2

ccyuki

ちょっとだけ違います。真ん中の部分をこれでは取りすぎているので正しくは、
P(A∪B∪C)= P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(A∩C)-P(B∩C)+P(A∩B∩C)
　です。

お礼

返信ありがとうございました。

確かに、３つ積の部分を取るとすべて重なった部分は０になってしまいますね・・・・・

正しい解答ありがとうございました＾＾

回答No.1

endlessriver

素人ですが、すこし違うような気がします。
集合演算を考えるときの円の重なったものを考えたりとか、元の式を機械的に反復利用すれば解ると思います。

お礼

返信ありがとうございました。
確かに違っているような気がしますよね・・・・・

正しい答えを導くのは難しいです。