マクローリンの定理の適用のしかたについて

質問

以下の問題を解いてみたのですが、いまいち自信がありません。
これであっているか、わかる方、ご指南お願いします。
特に、最後の(6)の指数が分数になっている場合の解き方に自信なく
途中までしか計算できませんでしたので
答えが導けていません。
こちらの計算方法を教えていただけると大変ありがたいです。

【問題】
次の関数に「マクローリンの定理」を適用せよ。ただし、n=3とする。

(1) x^2

まず、以下の値を求める。
f(0)=0
f'(0)=0
f''(0)=2
f^(3)(θx)=0
Rn(x)=(f^(3)(θx)/3!) * x^3 = 0

これを「マクローリンの定理」にあてはめて、
f(x)=f(0)+(f'(0)/1!)x + (f''(0)/2!)x^2 + Rn(x)
=0+0+x^2+0
f(x)=0+0+x^2+0
=x^2

(2) x^2+1
f(0)=1
f'(0)=0
f''(0)=2
f^(3)(θx)=0
Rn(x)=(f^(3)(θx)/3!) * x^3 = 0
(1)と同じように「マクローリンの定理」にあてはめて、
f(x)=0+0+x^2+0
=x^2

(3) x^3+x^2+1
f(0)=1
f'(0)=0
f''(0)=2
f^(3)(θx)=6
Rn(x)=(f^(3)(θx)/3!) * x^3 = x^3
(1)と同じように「マクローリンの定理」にあてはめて、
f(x)=1+0+x^2+x^3
=x^3+x^2+1

(4) x^5
f(0)=0
f'(0)=0
f''(0)=0
f^(3)(θx)=60θ^2x^2
Rn(x)=(f^(3)(θx)/3!) * x^3 = 10θ^2x^5
(1)と同じように「マクローリンの定理」にあてはめて、
f(x)=0+0+0+10θ^2x^5
= 10θ^2x^5

(5) √(x+1)
f(0)=1
f'(0)=1/2
f''(0)=-1/4 ?
f^(3)(θx)=3/8(θx+1)^(-5/2) ?
Rn(x)=(f^(3)(θx)/3!) * x^3 = ?
ここで計算がわからず断念しました。
途中までの計算はあっているでしょうか？
ご指導お願いします。

以上、よろしくお願いします。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

>(1)f(x)=x^2
OK

>(2)f(x)=1+x^2
>f(0)=1
>f(x)=0+0+x^2+0
間違い
f(x)=1+x^2

>(3)f(x)=1+x^2+x^3
OK

>(4)f(x)= 10θ^2x^5
間違い
f(x)=0

>(5)
f(x)=(x+1)^(1/2)
>f(0)=1
f'(x)=(1/2)(x+1)^(-1/2)
>f'(0)=1/2
f''(x)=(-1/4)(x+1)^(-3/2)
>f''(0)=-1/4 ?
ここまでOK、
（途中のf'(x),f'(x),f''(x)の計算式も書いておかないと減点されるかも）
[続き]
f'''(x)=(3/8)(x+1)^(-5/2)
f'''(0)=3/8
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)(1/2)x^2+f'''(0)(x^3)/3!
=1+x/2-(1/8)x^2+(1/16)x^3

お礼

お返事が大変遅くなり、申し訳ありませんでした。
間違いをご指摘いただき、ありがとうございました。
また、わからなかった箇所の続きもご指導いただき、たすかりました。
info22様には、いつも的確なご指摘をいただき、感謝しております。
今後ともご指導のほど、よろしくお願いします。