マクローリンの定理でのθが含まれるRn(x)の扱いについて
- マクローリンの定理では、Rn(x)にθが含まれていますが、Rn(x)のaに0を代入してもθが消えないことについての質問です。
- 質問者は以前、x^5をマクローリンの定理を適用した結果が10θ^2x^5ではなく0になることについて指摘された疑問を持っています。
- 質問者はRn(x)ではなくRn(0)とするのが正しいのか、θが含まれる項がなぜ0になるのかについて理解できていません。
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マクローリンの定理でのθが含まれるRn(x)の扱いについて
新年早々の質問ですが、よろしくお願いします。 テイラーの定理では、↓のようにRn(x)にθが含まれていますが、 a=0のとき、「マクローリンの定理」と呼ぶと教科書にありました。 f(x)=f(a)+(1/1!)*f'(a)(x-a)+(1/2!)*f''(a)(x-a)^2+…+{1/(n-1)!}f^(n-1)(a)(x-a)^(n-1)+Rn(x) Rn(x)=(1/n!)f^(n)(a+θ(x-a))(x-a)^n (0<θ<1) この「マクローリンの定理」の場合、 このRn(x)のaに0を代入するだけでは Rn(x)=(1/n!)f^(n)(0+θ(x-0))(x-0)^n Rn(x)=(1/n!)f^(n)(θx)x^n となり、θがきえないと思うのです。 しかし、以前、こちらで質問をした際に、 x^5をマクロ－リンの定理を適用(n=3)した結果が 10θ^2x^5ではなく、0になると指摘されました。 f(x)=x^5 f(0)=0 f'(x)=5x^4 f'(0)=0 f''(x)=5・4x^3=20x^3 f''(0)=0 f'''(x)=20・3x^2=60x^2 f'''(θx)=60θ^2x^2 n=3のとき、 f(x)=f(0)+(1/1!)*f'(0)x+(1/2!)*f''(0)x^2+Rn(x) Rn(x)=(1/3!)f'''(θx)x^3 より、 f(x)=0+0x+(1/2)*(0)x^2+Rn(x) Rn(x)=(1/6)*(60θ^2x^2)*x^3=10θ^2x^5 ←ここが間違い！ 自分はRn(x)ではなく「マクローリンの定理では、 Rn(0)とすればいいのかなと漠然と考えていましたが、 いまいち理解できていません。 θが含まれる項が0になる理由（もしくはプロセス）を ご指導いただければと思います。 以上、よろしくお願いします。
- niinii22
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いいえ。 θ が残るというよりも、 ｎ次平均値定理 (＝ｎ次テーラーの定理) (マクローリンの定理って言う？) では、 θ が x に依らない (a には依る) 定数であることまでしか分からない という事です。 θ の値は、別の方法で求める必要があります。
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- arrysthmia
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３次の平均値定理が示すのは、 x^5 = 0 + 0 x + 0 x^2 + 10 (θ^2) x^5 を満たす定数 θ が、0 < θ < 1 の範囲に存在する ということです。 事実 0 < 1/√10 < 1 ですから、合っていますね。
お礼
回答いただき、ありがとうございます。 そこはかとなくですが、理解できたような気がします。 つまり、やはりx^5 をマクローリンの定理を適用する場合 5次までいけばθは消えますが、 3次(n=3)で止めるのであれば、答えは0ではなく、 10(θ^2)x^5になり、θが消えずに残るという解釈で いいということですね。 大変お世話になりました。
- arrysthmia
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＞ Rn(x)=(1/n!)f^(n)(θx)x^n ＞ となり、θがきえないと思うのです。 当たり前です。消えては困ります。 そこで θ が消えるような公式が存在したら、 全ての関数 f( ) が多項式ということになってしまいます。 f(x) = x^5 の場合に、式から θ が消えるのは、 f ^(5) が、定数関数 1 なので、引数 θx に影響されないからです。 ＞ θが含まれる項が0になる理由（もしくはプロセス）を ＞ ご指導いただければと思います。 違います。 式に θ が含まれなくなるだけで、R_5 が 0 になった訳ではありません。 f(x) = x^5 の５次マクローリン展開は、 f(x) = 0 + 0 x + 0 x^2 + 0 x^3 + 0 x^4 + R_5(x), R_5(x) = x^5. です。
お礼
早速の解答ありがとうございます。 ということは、f(x)=x^5をn=3でマクローリン定数を適用したときは、 Rn(x)=(1/3!)f^(3)(θx)x^3 =(1/6)*(60θ^2x^2)*x^3 =10θ^2x^5 となり、 θが残り、f(x)=10θ^2x^5 になるということでしょうか？ たびたびですいませんが、ご指導のほど、よろしくお願いします。
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