無限級数の和の問題です！！数学の得意な方よろしくお願いします。

質問

数学得意な方、助けてくださいッ(+o+)

座標平面上を移動する点の極限の問題を解いていて、無限級数の和に帰着して、解けたと思ったので
すが、いくつか値を代入したら間違っていました(;_:)

無限級数の計算の過程でどこかが違うんだと思うのですが、さっぱりわかりません。

どなたか間違いを指摘してもらえたら助かります(x_x;)

aは0<a<1を満たす定数です。

Σ[n=1～∞] a^n*cos{(n-1)2π/3}
の和を求める。

部分和S[n]＝Σ[k=1～n] a^k*cos{(k-1)2π/3}

C:自然数とおくと
k=3c-2のときcos{(k-1)2π/3}＝1
k=3c-1のときcos{(k-1)2π/3}＝-1/2
k=3cのときcos{(k-1)2π/3}＝-1/2

ここで、b[k]=a^k*cos{(k-1)2π/3}とおくと、
部分和S[n]は、

(I)n=3m(mは自然数)のとき

S[3m]
=Σ[c=1～m](b[3c-2]+b[3c-1]+b[3c])
=Σ[c=1～m]{a^(3c-2)-1/2*a^(3c-1)-1/2*a^3c}
=1/2*(2-a-a^2)*Σ[c=1～m]a^(3c-2)

∴lim[m→∞]S[m]
=lim[m→∞]1/2*(2-a-a^2)*Σ[c=1～m]a^(3c-2)
=1/2*(2-a-a^2)*a/(1-a^3)…※
=(a+2)/2(a^2+a+1)

※Σ[c=1～m]a^(3c-2)
は、初項a,公比a^3,項数mの等比数列で、公比が0<a^3<1だから。

(II)n=3m-1のとき
…以下略。

略と言うより…
(I)の時点で間違ってると思ったので、計算をやめました。

一番怪しいと思うのは
後半の計算過程

∴lim[m→∞]S[m]
=lim[m→∞]1/2*(2-a-a^2)*Σ[c=1～m]a^(3c-2)
=1/2*(2-a-a^2)*a/(1-a^3)…※
=(a+2)/2(a^2+a+1)

の部分です。

1/2*(2-a-a^2)を定数とみて
以降に無限等比級数の和の公式を使ったのですが…

使って良かったのかよくわかりません。

よろしくお願いします。

式がわかりにくかったら、コメントをお願いします。この形式で打ったのが初めてなので...

回答No.2

coffeecat · ベストアンサー

確認ですが・・

∴lim[m→∞]S[m]
=lim[m→∞]1/2*(2-a-a^2)*Σ[c=1～m]a^(3c-2)
=1/2*(2-a-a^2)*a/(1-a^3)…※
=(a+2)/2(a^2+a+1)
の部分の一行目は
S[m]→→S[3m]

また最後の行はa(a+2)/{2(a^2+a+1)}（分子にaを１つ付け加えました）
ではないでしょうか？その上で合わないということでしょうか？

お礼

ありがとうございます!!

二ヶ所とも、間違いに気付かないまま計算していました(>_<)

単純な計算ミスですね...
自分で気付け無かったことが悔しいですm(__)m

でも、ほんとうに助かりました。ありがとうございました(^o^)

回答No.1

december_n

C:自然数とおくと
k=3c-2のときcos{(k-1)2π/3}＝1
k=3c-1のときcos{(k-1)2π/3}＝-1/2
k=3cのときcos{(k-1)2π/3}＝-1/2

のところ、

k=3c-2とk=3c-1はＯＫですが、
k=3cの時に
cos{(k-1)2π/3}＝cos{(3c-1)2π/3}
＝cos{2cπ-2π/3}
　　　　　　　 ＝1/2

ではないですか？符号が…

補足

早速の回答ありがとうございます。
ですが・・・

cos{(k-1)2π/3}
＝cos{(3c-1)2π/3}
＝cos{2cπ-2π/3}
＝cos(2π/3)
＝-1/2
となるので、あっていると思います。
なにか、勘違いをしていたら申し訳ありません・・・