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何故,[g]=[Ψ]1[f][Φ]^-1ではなく[g]=[Ψ]^-1[f][Φ]なの?
gef00675の回答
- gef00675
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線形写像と、それを特定の基底で表現した行列は、異なる概念なので、用語を使い分けましょう。数学に限らず、用語を正しく使ってくれないと、話が通じにくいですよね。 Vの２つの基底(v1,...,vn)から(v'1,...,v'n)への基底変換の行列[Φ]とは、通常 (v'1,...,v'n)=(v1,...,vn)[Φ] のようになるものを指します。つまり、各基底ベクトルが v'j=[Φ1j]*v1+…+[Φnj]*vn=Σ(i)[Φij]*vi (j=1,2,...,n) と表される、そういう行列です。このとき、Vの元xを２通りに表してみると、 x=x1*v1+...+xn*vn=x'1*v'1+...+x'n*v'n =Σ(ij)x'j*[Φij]*vi よって、xi=Σ(ij)*[Φij]*x'j 行列で表すと、 [x]=[Φ][x'] です。この関係を、先の (v'1,...,v'n)=(v1,...,vn)[Φ] と見比べてごらんなさい。ちょうど、逆の関係になっているでしょう。この辺が勘違いの原因だと思います。
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どうも有り難うございます。 > 線形写像と、それを特定の基底で表現した行列は、異なる概念なので、用語を使い分 > けましょう。数学に限らず、用語を正しく使ってくれないと、話が通じにくいですよ > ね。 すいません。 > Vの２つの基底(v1,...,vn)から(v'1,...,v'n)への基底変換の行列[Φ]とは、通常 > (v'1,...,v'n)=(v1,...,vn)[Φ] > のようになるものを指します。つまり、各基底ベクトルが > v'j=[Φ1j]*v1+…+[Φnj]*vn=Σ(i)[Φij]*vi (j=1,2,...,n) > と表される、そういう行列です。 つまり, (v'_1,v'_2,…,v_'n)= (v_1,v_2,…,v_n) ・ (Φ_11,Φ_12,…,Φ_1n) (Φ_21,Φ_22,…,Φ_2n) ： (Φ_n1,Φ_n2,…,Φ_nn) なので(v'_1,v'_2,…,v_'n)から(v_1,v_2,…,v_n)への基底変換行列は (v'_1,v'_2,…,v_'n)[Φ^-1]=(v_1,v_2,…,v_n)となるのですね。 > このとき、Vの元xを２通りに表してみると、 > x=x1*v1+...+xn*vn=x'1*v'1+...+x'n*v'n x=(v'_1,v'_2,…,v'_n)・t^(x'_1,x'_2,…,x'_n)= (v_1,v_2,…,v_n) ・ (Φ_11,Φ_12,…,Φ_1n) (Φ_21,Φ_22,…,Φ_2n)・t^(x'_1,x'_2,…,x'_n) ： (Φ_n1,Φ_n2,…,Φ_nn) =(x'_1,x'_2,…,x'_n) ・ (Φ_11,Φ_12,…,Φ_1n) (Φ_21,Φ_22,…,Φ_2n)・t^(v_1,v_2,…,v_n) ： (Φ_n1,Φ_n2,…,Φ_nn) となるのでしょうか? > =Σ(ij)x'j*[Φij]*vi > よって、xi=Σ(ij)*[Φij]*x'j これは (x'_1,x'_2,…,x'_n) ・ (Φ_11,Φ_12,…,Φ_1n) (Φ_21,Φ_22,…,Φ_2n)・t^(v_1,v_2,…,v_n) ： (Φ_n1,Φ_n2,…,Φ_nn) という意味でよろしいでしょうか? > 行列で表すと、 > [x]=[Φ][x'] > です。この関係を、先の > (v'1,...,v'n)=(v1,...,vn)[Φ] > と見比べてごらんなさい。ちょうど、逆の関係になっているでしょう。この辺が勘違 > いの原因だと思います。 すいません。いまいちよく分かりません。 http://www.ed.kanazawa-u.ac.jp/~nick/lecture/distribution/rep_matrix.pdf の定理2.2だと私が言ってる通りで納得できるのですが…。