○○または△△を選ぶ確立

質問

こんばんは。また、初めて挑戦するタイプの問題に出ました
ので、解き方を質問します。

問
Ａさんは昼食をとりにレストランへ行くと、２回に１回の割合で
日替わりランチを注文する。また、４回に１回の割合でコーヒー
を、５回に１回の割合でアイスクリームを注文し、複数のメニュ
ーを注文することもある。
ある日Ａさんがレストランに行き、日替わりランチを注文し、さ
らにコーヒーまたはアイスクリームを注文した確率はいくらか。

「コーヒーまたはアイス」とあるため、
１）ランチ＋コーヒーを選ぶ確率
２）ランチ＋アイスクリームを選ぶ確率
の２つのみを求める必要があると思いました。

１）１／２×１／４＝１／８
２）１／２×１／５＝１／１０

（１）と（２）を足して、解答は９／４０…と思いきや、選択肢
にこの数字はありませんでした。なぜこれではダメなのかの理由
はわかりませんが、ふむ、困った。

そこで読んだテキストの解説は、よくわからなかったので、皆様
流？の解き方と、なぜこの解き方が×なのかを質問したいと思います。宜しくお願いします。

回答No.8

tsuyoshi2004

＃６です。

コーヒーとアイスクリームだけを例にとってみると、
Ａ）コーヒーもアイスクリームも頼まない
Ｂ）コーヒーを頼んでアイスクリームは頼まない
Ｃ）コーヒーは頼まないが、アイスクリームは頼む
Ｄ）コーヒーとアイスクリームの両方を頼む
の４通りに分かれるのはわかりますよね？
それぞれの確率を求めると
Ａ）（１－１／４）（１－１／５）＝３／４Ｘ４／５＝３／５（＝１２／２０）
Ｂ）１／４Ｘ（１－１／５）＝１／４Ｘ４／５＝１／５（＝４／２０）
Ｃ）（１－１／４）Ｘ１／５＝３／４Ｘ１／５＝３／２０
Ｄ）１／４Ｘ１／５＝１／２０
となります。
ここであらためて確かめてみると、
アイスクリームに関係なくコーヒーを頼む確率はＢ＋Ｄなので、
４／２０＋１／２０＝５／２０＝１／４
で、出題の４回に１回と同じです。
同様に、コーヒーに関係なくアイスクリームを頼む確率は、Ｃ＋Ｄなので、
３／３０＋１／２０＝４／２０＝１／５
で、出題の５回に１回と同じです。
従って、コーヒーを頼む確率とアイスクリームを頼む確率を足してしまうと、（Ｂ＋Ｄ）＋（Ｃ＋Ｄ）になってしまいます。
なので、重複するＤをそこから差し引く必要があります。

もっとシンプルな例をあげれば、
「１００円玉と１０円玉を投げて、少なくとも１枚が表の確率は？」
という問題で、
１００円玉が表になるのは１／２の確率、同様に１０円玉が表になるのも１／２だから、１／２＋１／２＝１
だから、求める確率は１とは考えずらくないでしょうか？
どう考えても両方共に裏の確率があるはずです。
答えは、３／４です。

お礼

従って、コーヒーを頼む確率とアイスクリームを頼む確率を足してしまうと、（Ｂ＋Ｄ）＋（Ｃ＋Ｄ）になってしまいます。
なので、重複するＤをそこから差し引く必要があります。

自動的にそうなってしまうのですか～（@_@;）。パターンとして暗記したほうがよさそうですね。ありがとうございました。

回答No.7

KTR5718F

> しかし、なぜ計算しているわけではないのに、結果的に含まれてしまうことになるのかが疑問です。

計算してないから，結果的に含まれてしまうのです．

では，この問題の条件で，次の確率を質問者さんはどのように求めますか？
問）ランチを注文し，コーヒーを注文し，アイスクリームを選ばない確率はいくらか？

上記の確率と，「ランチを注文し，コーヒーを注文する確率」との違いが説明できますか？　そこに気づかない限り，この議論は永遠に続きますね．

本当は，ネット上で質問を重ねるより図を書きながら直接対面で説明を受ける方がいいと思います．学校の先生に質問するべきだと思いますが？

お礼

ありがとうございます。

１）ランチを注文し，コーヒーを注文し，アイスクリームを選ばない確率
２）ランチを注文し，コーヒーを注文する確率

…（２）の場合、「コーヒーを」と限定した言い方をしており、「コーヒーとアイスクリームを注文する確率」とはそもそも違うものだと思うのですが、算数の問題形式上、同じことであるということでしょうか？

＞図を書きながら直接対面で説明を受ける方がいい
ありがとうございました。

回答No.6

tsuyoshi2004

私ならまずは面倒くさそうなコーヒーまたはアイスクリームを注文する確率を考えます（日替わりランチはとりあえず無視）。気がかりなのは、「コーヒーまたはアイスクリーム」はコーヒーもアイスクリームも頼んだ場合を数えるのか数えないのかがわかりませんが、数学だとすれば、「または」は両方を含むのが通例なので、それを考えれば、
１－（コーヒーもアイスクリームも注文しない確率）なので、
１－（３／４Ｘ４／５）＝２／５
２／５がコーヒーまたはアイスクリームを注文する確率です。
なので、
更に日替わりランチを注文する確率をかけて
２／５Ｘ１／２＝１／５
と解きます。

で、質問者さんの回答には
１）ランチ＋コーヒーを選ぶ確率＝１／８
２）ランチ＋アイスクリームを選ぶ確率＝１／１０
には、それぞれの中にランチ＋コーヒー＋アイスクリームが共に含まれています。
だとすれば、その合計ではランチ＋コーヒー＋アイスクリームが二重に計算されています。
従って、
３）ランチ＋コーヒー＋アイスクリーム＝１／２Ｘ１／４Ｘ１／５＝１／４０
なので、
１／８＋１／１０－１／４０＝（５＋４－１）／４０＝８／４０＝１／５
が正解です。

追伸：ちなみにどのような問題集を使っているのでしょうか？個人的には、メニューの注文なんていう個人の嗜好が絡むことを確率の問題に使う問題は非常に疑問を感じます。
ましてや日替わりランチなんて、自分が嫌いなものなら注文する確率は０に限りなく等しいし、好きなものであれば確率はかなり高くなります。更に、追加でコーヒーやアイスクリームを頼むなんていうのは、日替わりランチの内容が脂っこければ頼む確立は高いし、さっぱりしていれば低いと思います。
このように本来は因果関係がありそうなものを独立した確率として捉えるのは統計学的に不適切極まりないことだと思います。

お礼

１）ランチ＋コーヒーを選ぶ確率＝１／８
２）ランチ＋アイスクリームを選ぶ確率＝１／１０
には、それぞれの中にランチ＋コーヒー＋アイスクリームが共に含まれています。

なぜ（１）と（２）にラ＋コ＋アという組合せが含まれるのですか。
僕が使った式は、あくまでラ＋コ、ラ＋アを選ぶ確立のみを求めた
のであって、ラ＋コ＋アを求めてはいませんよね。

計算していないのに、なぜ二重計算になるのかがわからないのです。

回答No.5

KTR5718F

質問者さんの書かれている
> １）ランチ＋コーヒー→１／２×１／４＝１／８
> ２）ランチ＋アイスクリーム→１／２×１／５＝１／１０
> が僕の使った計算方式です。コーヒーとアイスクリームを同時に
> 注文するというケースは式に含んでいませんので、重複にはなら

についてですが，１）についていえば
ランチとコーヒーを注文する確率を求めていますが，これに追加でアイスクリームを
注文するかしないかについては，どちらのケースも含んでいます．
　「ランチ＋コーヒー＋アイス」　→　1/2 * 1/4 *1/5 = 1/40　・・・case1
　「ランチ＋コーヒー＋アイス無し」　→　1/2 * 1/4 * (1-1/5) = 1/10 ・・・case2
質問者さんのおっしゃる１）には，このように case1 + case2 の2通りのケースが含まれることとなります．

同様に，質問者さんの言う２）ですが，ランチとアイスクリームを選ぶ確率を求めていますが，さらに
コーヒーを追加する場合とコーヒーを追加しない場合があります．
　「ランチ＋アイス＋コーヒー」　→　1/2 * 1/5 * 1/4 = 1/40　・・・case3
　「ランチ＋アイス＋コーヒー無し」　→　1/2 * 1/5 * (1-1/4) = 3/40　・・・case4

よって，質問者さんのように １）で求まる 1/8 と ２）で求まる 1/10 を単純に加えるということは，
私の書いたcase1～case4をすべて足し合わせることになります．そうすると，case1とcase3は同じ組み
合わせを選択する確率を求めているので，重複することになります．
だから，1/8 + 1/10 からダブっている 1/40 を差し引いてやる必要があるのです．

よって，1/8 + 1/10 - 1/40 = 8/40 =1/5

お礼

ありがとうございます。

しかし、なぜ計算しているわけではないのに、結果的に含まれてしまうことになるのかが疑問です。

回答No.4

S24fxL154

>複数のメニューを選ぶ可能性を排除するため、はじめから
（１）と（２）をたすという計算方法を考えました。
（１）＋（２）は、それぞれ別物としましたが、自動的に
（３）の要素も持ってしまうのですか？

この点に関してですが

（1）はコーヒーだけは確定していて、それ以外は何を
注文するのかは考えていません。したがって、コーヒーと
アイスクリームを注文することだってあるわけです。

（2）も同様にアイスクリームは確定していて、そのほかに
ついては考えていません。

ここで（1）（2）をそれぞれ詳しく説明すると

（1）　=　コーヒー　+　"アイスクリーム以外"を注文
　　　　　コーヒー　+　アイスクリームを注文

（2）　=　アイスクリーム　+　"コーヒー以外"を注文
　　　　　アイスクリーム　+　コーヒーを注文

というふうにコーヒー　+　アイスクリームを注文する組み合わせが
重複しています。
だからこの（1）（2）から（3）を引いてやるのです。
そうすればコーヒーまたはアイスクリームを注文する確率が出ます。

ベン図を書いてやるとわかりやすいです。

お礼

ありがとうございます。

１）ランチ＋コーヒー→１／２×１／４＝１／８
２）ランチ＋アイスクリーム→１／２×１／５＝１／１０

が僕の使った計算方式です。コーヒーとアイスクリームを同時に
注文するというケースは式に含んでいませんので、重複にはなら
ないはずだ、というのが僕の不明点です。コーヒーとアイスを同
時に注文する場合は、１／２×１／４×１／５になるはずです。

回答No.3

Ishiwara

「した確率」は「する確率」と書き直すことをお勧めします。書き直さなくても間違いではありませんが、「…した確率」という問題も存在し、ここではその種の問題と違うからです。

あなたの答が間違っている理由：
「すべてを注文する確率」が１）と２）の両方に含まれているので、その分（１/４０）だけ答が大きくなっています。つまり、９/４０から１/４０を引いてやれば正解となります。

お礼

ありがとうございます。

問題文は、テキストの文章そのままを書き込みましたが、まさかそんな裏話があったとは…。「問題の文章がおかしい」という話を何度かこちらでもいただいていますが、出題者は何を考えてこんな文章にしたのでしょうね（＾＾；。

＞「すべてを注文する確率」が１）と２）の両方に含まれている

（１）→コーヒーを選ぶ確率
（２）→アイスを選ぶ確立

であり、それぞれ、全く独立した別々のものなので、これをそのまま足し算しました。しかし、（１）＋（２）をすると、自動的に、「コーヒーとアイスを選ぶ確立」になってしまうのですか？

それぞれ別々だから大丈夫だと思った計算したのですが、なんで自動的に新しい要素が加わってしまうのですか（@_@;）

回答No.2

KTR5718F

日替わりランチを注文する確率　1/2　・・・(1)
コーヒーを注文する確率　1/4　・・・(2)
アイスクリームを注文する確率　1/5　・・・(3)

上記(2)および(3)より，「コーヒーもアイスクリームも注文しない」確率は，(1-1/4) * (1-1/5) = 3/5　・・・(4)

よって(1)および(4)より，「『ランチを注文』して，なおかつ『コーヒーもしくはアイスクリームのどちらか最低1つ以上を注文』する確率」は
1/2 * (1-3/5) = 1/5

質問者さんの 1/8 + 1/10 = 9/40 は，「ランチ・コーヒー・アイスのすべてを注文する確率」を重複して数えてます．

お礼

ありがとうございます。

＞のすべてを注文する確率」を重複して数えてます
そうならないように、コーヒーを注文する確率＋アイスを注文する確率、という式をつくりました。それぞれ別々に計算したつもりですが、自動的にこの式は「コーヒーとアイスを注文する確立」という要素も持ってしまうのですか？

回答No.1

notnot

複数のメニューを選ぶ可能性があるので、
3) ランチ＋コーヒー＋アイスクリームを選ぶ確率
も考えるべきで、
１＋２－３

お礼

ありがとうございます。

複数のメニューを選ぶ可能性を排除するため、はじめから
（１）と（２）をたすという計算方法を考えました。
（１）＋（２）は、それぞれ別物としましたが、自動的に
（３）の要素も持ってしまうのですか？