数III 微分 最後まで読んで欲しいです

質問

問　y=logxについて
1)第n次関数を類推せよ。
2)1で類推した結果を、数学的帰納法を用いて証明せよ。

という問題で、(1)は答えがyの第n次導関数=(-1)^(n-1)｛(n-1)!/x^n｝
これはわかりました。

(2)
ⅰ)n=1のとき左辺＝右辺＝1/x　ゆえにn=1のとき成り立つ
ⅱ)n=kのとき成り立つ、つまり
yの第k次導関数=(-1)^(k-1)｛(k-1)!/x^k｝
と仮定し、n=k+1のときを考えると、
yの第(k+1)次導関数
=(d/dx)y(k)
={(-1)^(k-1)} (k-1)! (d/dx) (1/x^k)　←Ａ
【ここまではわかりました】
={(-1)^(k-1)} (k-1)! {-kx^(k-1)/x^2k}　←Ｂ
={(-1)^k} {k!/x^(k+1)}　←Ｃ

ＡからＢに行く過程、ＢからＣに行く過程がわかりません
そもそもＡのd/dxは何をxで微分することを表しているのでしょうか?
Ｂの式を見るとd/dxが{-(kx)^(k-1)/x^k}になったことはわかったのですが…
ＢからＣへの過程は全くわかりません。
教えてください<(_ _)>

回答No.2

sanori · ベストアンサー

こんばんは。

＞＞＞そもそもＡのd/dxは何をxで微分することを表しているのでしょうか?

その後ろにある　１／ｘ^k　を微分しています。
ｚ＝ｘ^k　と置けば、ｘ^k　と　１／ｚ　の合成関数の微分により
ｄ／ｄｘ（１／ｘ^k）　＝　中の微分　かける　外の微分
　＝　ｋｘ^(k-1)　かける　－１／ｚ^2
　＝　ｋｘ^(k-1)　かける　－１／ｘ^2k　　　←　Ｂの｛｝の中
　＝　ｋｘ^(k-1)　かける　－ｘ^(-2k)
　＝　－ｋｘ^(k-1-2k)
　＝　－ｋｘ^(-k-1)
　＝　ｋ　かける　－１／ｘ^(k+1)

よって
Ａ　＝　（－１）^(k-1)　かける　（ｋ－１）！　かける　－ｋ／ｘ^(k+1)
　＝　（－１）^(k-1)　かける　ｋ・（ｋ－１）！　かける　－１／ｘ^(k+1)
　＝　（－１）^(k-1)　かける　｛ｋ・（ｋ－１）！｝　かける　－１／ｘ^(k+1)
　＝　（－１）^(k-1)　かける　ｋ！　かける　－１／ｘ^(k+1)
　＝　｛（－１）・（－１）^(k-1)｝　かける　ｋ！　かける　１／ｘ^(k+1)
　＝　（－１）^k　かける　ｋ！　かける　１／ｘ^(k+1)
　＝　Ｃ

となります。

以上、ご参考になりましたら。

お礼

d/dxを単体で見ていました；
わかりやすい解説ありがとうございました<(_ _)>

回答No.1

info22

>={(-1)^(k-1)} (k-1)! (d/dx) (1/x^k)　←Ａ
>【ここまではわかりました】
ここから
(d/dx) (1/x^k)={-1/(x^k)^2}(d/dx)(x^k)={-1/(x^k)^2}kx^(k-1)
と(x^k)を固まりとして微分し、その(x^k)を微分するといった
合成関数の微分法を使ってＢに変形していますね。

>={(-1)^(k-1)} (k-1)! {-kx^(k-1)/x^2k}　←Ｂ
-kのマイナス符号の-1を{(-1)^(k-1)}に掛け込んで{(-1)^k}としているね。
kは(k-1)! に掛け込んでk！にしている。
xの指数部については、分子の指数部を分母に移す、つまり分子の指数部を分母の指数部から引いて
x^(k-1)/x^2k=1/x^(2k-(k-1))=1/x^(k+1)
とする。これらの操作をすればＣになります。
>={(-1)^k} {k!/x^(k+1)}　←Ｃ

お礼

わかりやすい解説ありがとうございました<(_ _)>