- ベストアンサー
とあるゲームの優勝確率を求めたい。
gef00675の回答
- gef00675
- ベストアンサー率56% (57/100)
P1,P2,...,PnのタイムをそれぞれX1,X2,...,X3とします。P1が優勝するとは、X1>X2,X1>X3,...,X1>Xnが同時に成り立つことと解釈し、100ｍ競争のようにプレイヤーが互いに干渉せずに競争すると考えると、X1,X2,...,Xnは互いに独立であると仮定できると思います。 Xk≦xとなる確率をxの関数とみてFk(x)とかくと、P1が優勝する確率は V1＝（X1>X2かつX1>X3かつ…X1>Xnとなる確率） ＝∫F2(x)F3(x)…Fn(x)dF1(x) と表せます。V1+V2+…+Vn=1が成り立っていることは、部分積分を繰り返せば確認できます。プレイヤーの実力が対等のときは、F1(x)=F2(x)=…=Fn(x)と考えられますから、 V1=∫F^(n-1)dF=1/n という自然な結果が得られます。 二人で競争したときにP1がP2に勝つ確率は、 E12＝∫F2dF1(x) となりますが、一般に、V1はE12,E13,...などの和や積を組み合わせて表すことはできません。ご質問の問題では、もう少し条件を絞り込むこむ必要がありそうです。例えば、特定の分布（たとえば指数分布など）を仮定すれば、何らかの関係で表せる可能性があります。
関連するQ&A
- 確率（漸化式）
ある工作機械が２日連続して故障する確率は1/3 ２日連続して故障しない確率は1/2 今日、この機械が故障したとすると、n日後この機械が故障しない確率を求めよ。 という問題で、n日後に故障しない確率をPnとおくと、計算過程を省くと Pn＋1-4/7=-1/6(Pn-4/7) ※Pn＋1はPnのnをn＋1に書き換えたものです。 となり、 これを変形すると、数列{Pn-4/7}は、初項P0-4/7、公比-1/6だから Pn-4/7=(P0-4/7)(-1/6)^n-1＋4/7 ∴Pn=(-4/7)(-1/6)^n-1＋4/7 ※P0とはPnにおいてn=0 となるはずだと思うのですが、参考書には Pn=(-4/7)(-1/6)^n＋4/7 となっているんです。 ご指摘よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 確率
2枚のカードA,Bを表向きに１つの机に並べる。カードは1回机を叩くとpの確率で裏返り、一度裏返ったら元には戻らない。0<p<1とし、2枚のカードは互いに独立している（同時に裏返る必要は無い）。 (1)n回叩いて初めてA,B共に裏になる確率Pnを求めよ という問題で、 (ⅰ)n回目で同時にA,Bが裏返る確率 裏返らない確率が(1-p)より、 (1-p)^｛2*(n-1)｝*p^2 (ⅱ).n-1回目以前にBが裏返っていて、n回目にAが裏返る確率 (1-p)^(n-1)*p^2+(1-p)^n*p^2+・・・+(1-p)^(2n-3)*p^2 ＝p*(1-p)^(n-1)*｛1-(1-p)^(n-1)｝ (ⅲ).n-1回目以前にAが裏返っていて、n回目にBが裏返る確率 これは(ⅱ)と同じ確率 これらは同時に起こらないので１～３まで足して Pn=2p*(1-p)^(n-1)*｛1-(1-p)^(n-1)｝＋(1-p)^(2n-2)*p^2 としたんですが、値が大きすぎて間違っているのではないかと思います。 場合分けの通りにも問題はないはずですし 計算も間違えてはいないと思うのですが、 最後のPnの値をもう少し小さく出来るのでしょうか？ わかる方いましたらお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 確率の最大値 Pn₊₁/Pn=1
確率の最大値を求める問題で、Pn₊₁/Pn>1,Pn₊₁/Pn=1,Pn₊₁/Pn<1を調べる問題と、 Pn₊₁/Pn>1,Pn₊₁/Pn<1の二つだけ調べる問題があり、区別がつかずに迷っています。 具体的には、 白球１５個と赤球4個が箱に入っている。この箱から球を１個取り出す操作を繰り返す。ただし、取り出した球はもとに戻さない。n回目に取り出した球が３個目の赤球である確率をPnとするとき、Pnが最大となるnの値を求めよ。ただし3≦n≦18とする。 という問題では、Pn={(n-1)(n-2)(19-n)}/{2・19C4} (19C4は19個の中から4個選ぶ組み合わせです。)より、Pn₊₁/Pn>1のとき、3n<38 より n<12.6 またPn₊₁/Pn<1のとき3n>38から n>12.6 ゆえに P3<P4<・・・P12<P13>P14>P15>・・・>P18したがってn=13のときが答えになっていました。 1つ目の質問として、この問題では、Pn₊₁/Pn=1を満たすとき、3n=38 n=12.6と整数にならないので、Pn₊₁/Pn>1,Pn₊₁/Pn<1の二つを調べたのでしょうか。 2つ目の質問として、類題は、Pn₊₁/Pn=1を満たす整数があるか問題ごとに確認して、整数にならない場合は、Pn₊₁/Pn=1を答案に書かないと区別すればよいのでしょうか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 破産の確率の応用問題
数日考えたのですが、次の問題が解けません。 どなたかお力を拝借できないでしょうか。 破産の確率の応用だとは思うのですが・・・。 《問題》 太郎くんと花子さんがあるゲームを繰り返し行う。 ゲーム1回につき太郎くんの勝つ確率は1/3で引き分けはないものとする。 勝ち数-負け数=nとなった時点で優勝とし、太郎くんが優勝する確率を求めよ。 答えは1/(2^n+1)だそうです。 よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 確率変数列の期待値分散
独立な確率変数列 x[0], x[1], x[2]・・・・ は 確率ｐ で１ 確率1-p で０の値を取ります。 この確率変数列をもとに 確率変数列 y[0], y[1], y[2],・・・・を ｙ[0]＝１ ｙ[i+1]=y[i]+a(x[i]-y[i]) (i=0,1,2,・・・） ただし 0<a<1 この時 （１）y[n]=(1-a)^n+Σ【i : n-1~0】 (1-a)^(n-i-1)・x[i] となる事を示せ （2）y[n]の期待値Enと分散Vnを求めよ (3)E[∞]=lim【n→∞】En V[∞]＝lim【n→∞】Vn とおく、 1/2<p<3/4であるとき、 E[∞]－√V[∞] ≥ 1/2 を満たすaの最大値を求めよ 上の問題がわからなくて困っています。 どこかだけでも良いので、どなたか、教えてください。 よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- ○回目にＡの優勝がきまる確率をもとめよ。
悩んでも解けませんでした。申し訳なく思いますが宜しくお願い致します。 《問》 ある試合で、ＡがＢに勝つ確率は一定で 2/3 である。この２人が試合をし、先に３試合勝った方を優勝とする。引き分けはないものとして次の各々の確率を求めよ。 Ｑ： ４回目にＡの優勝が決まる ・・・解答は ３Ｃ１ × (２/３)^3 × １/３ = 8/27 とありますが、 私は ３Ｃ２ × (２/３)^3 × １/３ ・・・・・・と考えます なぜ、３Ｃ１ なのでしょうか？ 教えてください。 類似問題で、 問：ある試合でＡがＢに勝つ確率は一定で１/３である。２人が試合し先に４試合勝った方を優勝とする。引き分けはないものとして次の各々の確率を求めよ。 Ｑ：５試合目に優勝が決まる。 解答は 「Ａが最初の４回は３勝１敗で５回目に４勝する確率」として、 ４Ｃ３×(１/３)^4 ×２/３= 8/243 ・・・となっています。 ・・・私もこのように考えたのですが、それだと上記の問題も、３Ｃ２ になると思うのです。どうしたら、３Ｃ１ となるのでしょうか。 読みづらくてすみません。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 確率 三枚の硬貨
（問）三枚の硬貨を同時に投げ、裏が出た硬貨を取り除いていく。この操作をすべての硬貨が取り除かれるまで繰り返し、n回目に試行が終わる確率をPnとする。 （１）P1、P2を求めよ。 （２）n回以上操作が続く確率Qnを求めよ。 この問いの（２）がわかりません。（１）を誘導とみなし、Pnを求め、 Qn=1-(P1+P2+P3+・・・+Pn-1) として、Σを利用して解くと思うのですが、Pnが求まりません。 アプローチの仕方がおかしいのでしょうか。考え方だけでも構わないのでわかる方教えて下さい。 ちなみに、答は （１）P1=1/8 P2=19/64 （２）Qn=3/2(n-1)乗-3/4(n-1)乗+1/8(n-1)乗 です。お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
間違って回答への補足に書いてしまったので、 改めてお礼を書きます。 ありがとうございました。
補足
丁寧なご回答ありがとうございます。 途中で私がさしはさんだ問題もクリアできていることに 言及いただいて、大変ありがたかったです。 やっぱり、個々の対戦の勝率だけでは、 ｎ人同時プレイのゲームの勝率は求められないんですね…。 もともとは、個々のレーティングから求めようと思って始めた事でした。 分布とは、各人の走破タイムの分布のことでしょうか。 そうであれば、平均ｘ秒でゴールする指数分布などで考えてみたいと思います。 大変ありがとうございました。