相加相乗平均の関係

質問

a>0 , b>0 のとき (a+2/b)(b+3/a) の最小値を求めよ。

この問題の解き方なんですけど、
相加相乗の関係を用いて
(a+2/b)(b+3/a)≧2√(2a/b)*2√(3b/a)=4√6

と計算したらなぜ駄目なのでしょう？
答えは 5+2√6 です。

よろしくお願いします。

回答No.2

Tacosan

#1 で終わりではあるんだけど蛇足の補足:
この問題では「最小値を求めよ」とあるので, 実際に (a+2/b)(b+3/a) がとりうる値でなければなりません. で, 確かに
(a+2/b)(b+3/a)≧2√(2a/b)*2√(3b/a)=4√6
という関係式は成り立ちますが, この式で左の等号が成り立つことを示す必要があります.
#1 の最初のように処理しても本当は等号が成立することを言っておく必要があります.
つまり, 「-3≦x≦2 のとき x^2 の最小値を求めよ」という問題に対して「-1」が適切か? ということです.

回答No.1

fukuda-h

正解は展開して相加相乗の関係を使っているはずです
(a+2/b)(b+3/a) =5+ab+6/ab≧5+2√(ab)/(6/ab)= 5+2√6
理由は
a+2/b≧2√(2a/b)と(b+3/a)≧2√(3b/a)
で相加相乗の関係をばらばらに使うと等号が成り立つ時の条件が一致しないことです。前者ではab=2,後者ではab=3となっていて等号は成立しなくなるからです