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可逆反応の速度式

可逆反応 A⇔B (A→Bの速度定数をK1 B→Aの速度定数K-1)とするときの速度式について、dA/dt = -k1A+k2B、 dB/dt =k1A-k2Bまでは式を立てれるのですが、この式を積分した式の導き出し方がわかりません。 具体的には、第93回薬剤師国家試験 問21の問題の解き方がいまいちよく分かりません。 どうか宜しくお願いします。

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t=0においてA=a、B=bとしますね。すると、A⇔B より常にA+B=a+bだからB=a+b-Aと表します。 dA/dt=-k1A+k2B=-k1A+k2(a+b-A)=-(k1+k2)A+(a+b)k2 → ∫dt=∫dA/{-(k1+k2)A+(a+b)k2} → Ce^{-(k1+k2)t}=-(k1+k2)A+(a+b)k2 C=bk2-ak1だから、 A={(a+b)k2-(bk2-ak1)e^{-(k1+k2)t}}/(k1+k2) B=a+b-A={(a+b)k1+(bk2-ak1)e^{-(k1+k2)t}}/(k1+k2)

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  • 回答No.1
noname#70519

dA/dt=-k1・A+k2・B         (1) dB/dt=k1・A-k2・B          (2) (1)式を t で微分して d^2A/dt^2=-k1・(dA/dt)+k2・(dB/dt) (2)式を代入して d^2A/dt^2=-k1・(dA/dt)+k2・(k1・A-k2・B) (3) (1)式より K2・B=dA/dt+k1・A これも(3)式に代入して d^2A/dt^2=-k1・(dA/dt)+k2・{k1・A-(dA/dt+k1・A)} 整理して d^2A/dt^2+(k1+k2)・(dA/dt)=0 (4) dA/dt=p とすると dp/dt+(k1+k2)・p=0 dp/p=-(k1+k2)dt ln(p/p0)=-(k1+k2)・t ここで、t=0 における dA/dt を p0 とした。 p=p0・e^{-(k1+k2)・t} p を元に戻す。ただし、A、B の初期値を A0、B0 として p0=-k1・A0+k2・B0 と表せるとする。 dA/dt=p0・e^{-(k1+k2)・t} ∴ A=∫p0・e^{-(k1+k2)・t}dt ={p0/(k1+k2)}・[1-e^{-(k1+k2)・t}] ={(k2・B0-k1・A0)/(k1+k2)}・[1-e^{-(k1+k2)・t}] 式(1) + 式(2)=d(A+B)/dt=0 より A+B=C(一定)として、これを用いて B=C-{(k2・B0-k1・A0)/(k1+k2)}・[1-e^{-(k1+k2)・t}]

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