座標軸の変換の計算方法

質問

失礼いたします。
ある点の座標の算出方法がわからず困っています。

・ある2つのA座標軸とB座標軸（ともに２Ｄ）が存在し、お互いの相対距離や軸の相対角度についてはわからない。
・ある2つの点b,cはA,B座標軸系に対応する座標がそれぞれ解っている。
・点aはA座標軸系に対応する座標は解っている。
という条件の元、点aのB座標軸系に対応する座標（BXa,BYa)の算出はできるのでしょうか？またその算出方法がわかればご教示ください。

以下に条件についてまとめてみます。
　　　　A座標軸系　　　B座標軸系
点a　　（AXa,AYa) 　　 (BXa,BYa)
点b　　（AXb,AYb) 　　 (BXb,BYb)
点c　　（AXc,AYc) 　　 (BXa,BYc)
として(BXa,BYa)以外は既知という条件です。

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

Ｂ座標系はＡ座標系を原点回りにθだけ回転して、＋Ｂｘ方向にξ、＋Ｂｙ方向にηだけ平行移動したものと捉えて良いのでしょうか。
　でしたら算出できます。
　与えられた条件で４元連立方程式ができますので、そこから３つの変数θ、ξ、ηを求めれば良いのです。
　しかし、計算式がとても複雑になります。方針だけ書きますので後はご自分で導出して下さい。（手間さえかければできるものです。）

　　BXa＝AXa cosθ－AYa sinθ－ξ　・・・（Ａ）
　　BYa＝AXa sinθ＋AYa cosθ－η　・・・（Ｂ）

　　BXb＝AXb cosθ－AYb sinθ－ξ　・・・（Ｃ）
　　BYb＝AXb sinθ＋AYb cosθ－η　・・・（Ｄ）
　　BXc＝AXc cosθ－AYc sinθ－ξ　・・・（Ｅ）
　　BYc＝AXc sinθ＋AYc cosθ－η　・・・（Ｆ）

　式（Ｃ）～（Ｆ）を連立して、cosθ、sinθを次のように得ます。
　　cosθ＝{(AXb-AXc)(BXb-BXc)＋(AYb-AYc)(BYb-BYc)}／{(AXb-AXc)^2＋(AYb-AYc)^2}
　　sinθ＝{(AXb-AXc)(BYb-BYc)＋(AYb-AYc)(BXb-BXc)}／{(AXb-AXc)^2＋(AYb-AYc)^2}

　あとは、これを式（Ｃ）（Ｄ）などに代入して、ξ、ηを求めて下さい。
　これらを式（Ａ）（Ｂ）に代入すれば、座標変換の式が得られ、座標 (BXa,BYa)が求められるはずです。

　ただし、上記の計算には間違いがあるかもしれませんので、ご自分でご確認下さい。

お礼

詳しいご説明ありがとうございます。
教授いただいた式に代入して算出したのですが、
私の計算が間違っているのか、どうも座標があいません。。。
ですが、解りやすいご説明で大変勉強になりました。
大変ありがとうございました。

＜別の方法（ＣＡＤ）で直接座標計測しまして、解決する事ができました。＞