比例式の値を求める問題

質問

「　(b+c)/a=(c+a)/b=(a+b)/c のとき、この式の値を求めよ。　」という問題です。

式の値をkとおいて
b+c=ak, c+a=bk, a+b=ck 　・・・(1)　から
2(a+b+c)=(a+b+c)k　・・・(2)となり、a+b+c=0かどうかで場合分けして解きますよね
それで、模範解答ではa+b+c=0のときは、b+c=-a から、最初の式に代入してk=-1となり終わっているのですが
a+b+c=0じゃないとき(2)から k=2 で、そのあと
「このとき、(1)を解くとa=b=cであり、abc≠0 とすることができる。」
とあるのですが、これはどういった意味だかわからなくて困っています。
この確認は必要なんでしょうか？　　書いてあるくらいだから必要なんだろうと思いますがだとしたらなぜ必要なんでしょうか？

回答No.3

Quattro99 · ベストアンサー

> a+b+c=0のときは、b+c=-a から、最初の式に代入してk=-1となり
この計算をするときに、a≠0、b≠0、c≠0（つまり、abc≠0）という条件の中で解くことになるので、得られた答えであるk=-1のとき、abc≠0という条件は満たされていることになります。
これに対し、
> a+b+c=0じゃないとき(2)から k=2
> そのあと「このとき、(1)を解くとa=b=cであり
この計算のときにはabc≠0という条件が出てきません。従って、元の式の条件となっているabc≠0の場合に成立するかどうかを示す必要があるということだと思います。

お礼

k=-1のときとk=2のときで片方だけ確認が必要な理由がなんとなくわかりました。
k=2のほうは a≠0、b≠0、c≠0 が前提となる式を使わずに解いているので確認が必要というようなことでしょうか
ご回答ありがとうございました

回答No.4

take_5

加比の理というものがある。下のＵＲＬを参照すると良い。

http://www.weblio.jp/content/%E5%88%86%E6%AF%8D#.E5.8A.A0.E6.AF.94.E3.81.AE.E7.90.86

それを使うと、実に簡単。但し、生兵法は怪我の元。使うには十分注意が必要。

(b+c)/a＝(c+a)/b＝(a+b)/cより加比の理を使うと、Ｐ＝2*（a＋b＋c）/（a＋b＋c）であるから、a＋b＋c＝0の時と、a＋b＋c≠0の時とに分ければ良い。

やってる事は結局同じだが。。。。。。笑

お礼

ご回答ありがとうございました　　そんなものがあるんですか　初めて知りました

回答No.2

nettiw

>> 　abc≠0 が大前提なのに、
>> 　a+b+c=0のとき、k=-1となり終わっているのに、
>> 　a=b=c　のときの、ときk=2　で終わらずに、
>> 　　　　abc≠0を注意書きとしてあるのは奇妙。

確かに奇妙です。一貫性からいうと、

（１）
　a+b+c=0、(abc≠0)のとき、k=-1。
　a=b=c、(abc≠0)のとき、k=2。
（２）
　a+b+c=0、のとき、k=-1。
　a=b=c、のとき、k=2。

（１）でも、（２）でもokです。

模範解答/解説の意図は、
条件a+b+c=0と条件a=b=cが重複していないことを示すために、
条件a=b=c、に　abc≠0を追加しています。
読者によっては、
（親切）と思うか、（何も感じない）か、（余計な、お世話）と思うか。

お礼

ご回答ありがとうございました
a=b=cのとき　というかきかたでもいいんですね？

回答No.1

orcus0930

必要です。
a+b+c≠0のとき、a,b,cいずれかが0である必要が生じる（仮にa=0としましょう）と、
(b+c)/a　の÷aが「÷0」となるので、式自体が成り立たないことになります。この場合、答えとして不適となります

なので、
「a≠0かつb≠0かつc≠0」と同値である「abc≠0」をとることができるかを確認する必要があり、今回はa=b=c=1のようにして、abc≠0の場合が存在するのでa+b+c≠0のときk=2が答えとして適することになります。

お礼

ご回答ありがとうございました。
a≠0かつb≠0かつc≠0 の意味で abc≠0 だったんですね　気づいてませんでした・・・
なるほどkの値をだしてabc=0じゃなくてはいけなくなったら不適になってしまいますね
kの値をだしてそれでabc≠0を満たさなくなってしまうこともあるんですか？