中学３年生の受験生です！

質問

この前学校で、実力テストの予想問題でどうしても解らない問題があったので教えてほしいです。１月には私立の受験があるので焦ってます！

四角形ＡＢＣＤがあり、それぞれ辺，縦ＡＢ，横ＢＣ，縦ＣＤがあります。
ＥＧが真ん中で横に平行線が通っています。
そして、ＡからＢＣの間線が引かれていて、ＢＣの間に点Ｆが存在します。
そしてΔＡＢＦができます。
ＡＥ：ＥＢは１：２、ＢＦ＝ＦＣ，ＥＧ／／ＢＣである。ＡＦとＥＧに交点Ｈがあります。ＡＤ＝１２ｃｍのときのに次の問いに答えよ。というような問題です。

１、線分ＨＧの長さは何ｃｍか？

２、四角形ＨＦＣＧの面積はΔＡＥＨの面積の何倍か？

１番は友達に教えてもらったのですがいまいち理解できませんでした。
どうか解りやすく教えていただけないでしょうか？

回答No.1

taknt · ベストアンサー

ＡＢとＡＥは ３：１です。
なので ＢＦとＥＨはも ３：１でしょう。
ＢＦが ６なので ＥＨは ２ですね。
ＡＤが １２なので ＨＧは １０ｃｍだと思います。

ＢＦ＝ＦＣなので １２ｃｍの半分ってことですね。

なお、ＡＥを ｎとすると ΔＡＥＨは ２×ｎ／２なので ｎとなります。
四角形ＨＦＣＧは、台形なので （底辺＋上辺）×高さ／２で
（６＋１０）× ２ｎ／２ということで １６ｎ
つまり １６倍ですね。

こういうのは、もう何年もやってないので、間違えてたら ゴメンなさい。

補足

どうしてＡＢとＡＥは３：１なのですか？

回答No.6

ume-kichi

△ＡＢＦ∽△ＡＥＨは相似ですよね。
（∠ＢＡＦ＝∠ＥＡＨは共通、ＥＧ//ＢＣより、同位角が等しいから、∠ＡＦＢ＝∠ＡＨＢとなり、２つの角がそれぞれ等しいから）
よって、相似比はＡＢ：ＡＥ＝３：１
一方、ＢＦ＝６cm（ＦはＢＣの中点）だからＥＨ＝ａとおくと
３：１＝６：ａ　
よってａ＝２cm
ＨＧ＝ＥＧ－ＥＨ＝１２－２＝１０cmとなります。
　　　 ↑これは、四角形ＡＥＧＤが平行四辺形になるからＥＧ＝ＡＤ＝１２
これが（１）の答え。

ΔＡＥＨの面積を『１』と考えましょう。そうして、ＢＨを結ぶ。
すると、△ＥＨＢの面積は、『２』
（「高さが同じならば、面積の比は底辺の比と等しい」を使いました。いま、底辺の比は、１：２だから面積の比も１：２）
同じようにΔＨＢＦの面積はＡＨ：ＨＦ＝１：２（相似より）より、『６』
以下同じように補助線を引き、面積比を使って面積の比を求めていくと、（一度自分でやってみましょう～）四角形ＨＦＣＧは『１６』になるので、１６倍。

＃１の方の答えと同じになりました。

補足

がんばってみます！

回答No.5

KID53

四角形ＡＢＣＤを平行四辺形と仮定して回答します。

１について

線分ＡＤの中点と点Ｆを結んだ線と線分ＥＧとの交点を点Ｉとする。ＥＢ＝ＦＩよりＡＥ：ＩＦ＝１：２。ＥＨ：ＨＩ：ＩＧ＝１：２：３。
よってＨＧ＝１２×５／６＝１０ｃｍ。

２について

ＡＥ：ＦＩ＝１：２より△ＡＥＨ：△ＨＦＩ＝１：４。ＡＥ：ＡＢ＝１：３より△ＡＥＨ：ＡＢＦ＝１：９。従って△ＡＥＨ：□ＥＢＦＨ＝１：８。△ＨＦＩ：□ＥＢＦＨ＝４：８。□ＥＢＦＩ＝□ＩＦＣＧ。
よって△ＡＥＨ：□ＨＦＣＧ＝１：１６。

あってるかな？

補足

Ｉがでてきていまいち理解できませんでした。
すみません・・・

回答No.4

taknt

＞ＡＥ：ＥＢは１：２
ならば ＡＢは ３と なりますよね。

比率としてですが。

お礼

とってもよくわかりました！
ありがとうございます。これで苦手な数学も、克服できそうです。
本当にありがとうございました。

回答No.3

rei00

#2 さんがお書きのように，他に条件はないですか？　例えば，平行四辺形ＡＢＣＤとか長方形ＡＢＣＤとか。

　例えば，下のような四角形も『ＡＥ：ＥＢは１：２、ＢＦ＝ＦＣ，ＥＧ／／ＢＣである』に当てはまりますが，この場合求まらないような気が・・・。

　　　　　　　Ｄ
　　　　　　／＼
　　　　　／　　＼
　　　Ａ／　　　　＼
　　　　｜＼　Ｈ　　＼
　　　Ｅ｜－－－－－－＼Ｇ
　　　　｜　　＼　　　　＼
　　　　｜　　　＼　　　　＼
　　　Ｂ－－－－－－－－－－Ｃ
　　　　　　　　　Ｆ

　私が勘違いしてるのでしょうか？　補足下さい。

補足

たぶん平行四辺形だと思います。

回答No.2

NIWAKA_0

ＡＢＣＤって、ただの「四角形」ですか？
どうも、ＡＤの長さがフリーになっちゃうんだけど…。

補足

ＡＤはＢＣは同じ長さだとおもいます。