中学受験算数、平行線の相似

質問

解答と自分の答えがちがいます。解説がないので解りません。
途中までは自分で考えてみたので教えてください。

図の長方形ABCDで、AH：HD＝CF　FB＝２：３　　AE：EB＝CG：GD＝２：１のとき、斜線部分の面積は長方形ABCDの面積の何倍ですか。

ぼくはこう考えました。三角形ABF＋CDH＝全体の５分の３なので真ん中の平行四辺形AFCHは５分の２だということまでは解りました。でも上と下の台形が全体のどのぐらいなのかが解りません。

回答No.3

owata-www · ベストアンサー

まあ、色々なやり方はあると思いますが　地道に引いていくやり方でやりましょうか

斜線部分の上からＩ、Ｊ、Ｋ、Ｌと置きます。

すると、△ＤＡＪ＝△ＢＣＫ、△ＣＤＩ＝＝△ＡＢＬとなります。そして、求める斜線部分の面積は、ＡＢＣＤから４つの三角形を引いたものです。

つまり、４つの三角形の面積がわかればいいわけです。
ＢＣに平行でＥを通る直線とＪＬの交点をＭとおくと
ＥＭ//ＢＦ、ＡＥ：ＥＢ＝２：１より、
ＥＭ：ＢＦ＝ＡＥ：ＡＢ＝２：（２＋１）＝２：３
なので、ＥＭ＝２／３ＢＦ…(1)となります。

また、ＥＭ//ＡＤより
ＤＪ：ＪＥ＝ＡＤ：ＥＭ＝１：（２／３＊３／５）（∵(1)、AH：HD＝CF　FB＝２：３より）
＝５：２となります。

よって、
△ＤＡＪ＝(ＤＪ／ＤＥ）＊△ＤＡＥ＝５／７＊１／３□ＡＢＣＤです。
また、△ＤＡＪ＝△ＢＣＫ

今度はＣＤに平行でＦから引いた直線とＫＬの交点をＮとして、同様に面積を求めてください（書くのはめんどうなので省略）
すると△ＡＢＬ＝△ＣＤＩ＝３／１４□ＡＢＣＤとなるので、
求める面積は
１－（５／２１＋３／１４）＊２＝２／２１□ＡＢＣＤ

よって、２１／２倍　
計算は間違っているかもしれないのでご確認を

お礼

わー！！すごいです！回答正解です！しかもよく解りました！おおわたさんいつもありがとうございます。

回答No.2

nattocurry

#1です。
ごめんなさい。
#1の回答は間違ってますね。
安易に考えすぎました。

お礼

ぼくもやっぱりわかりません。お父さんにも聞いてみます。ありがとうございました。

回答No.1

nattocurry

斜線部の四角形の上の頂点を点P、左を点Qとします。
点Pを通り、直線ABに平行な(垂直な)直線で斜線の四角形を切り、右側にできた三角形の頂点Pが、左側にできた四角形(台形)の頂点Qに一致するようにスライドさせると、直線ABに平行な二辺を持つ平行四辺形になります。面積は変わりません。
更に、点Qを通り、直線ADに平行な(水平な)直線で斜線の平行四辺形を切り、同様に上側に出来た三角形をスライドさせると、長方形が出来上がります。

この長方形の縦の長さは、直線DEと同じになり、横の長さは、直線AHと同じになります。

あとは、比例計算ですね。

お礼

ありがとうございます。直線ＡＢに平行な平行四辺形はできたのですがそのあとの長方形が分かりません。もう少し考えてみます。