幾何の証明の添削をお願いします

質問

「三角形をどのように三角形に分割しても、細分三角形の面積の和は元の三角形の面積になる」
　　[証明]帰納法を用いる。
ｎ＝２のとき成立。
ｎ＝ｋのときに成り立つと仮定する。
ｎ＝ｋ＋１のときｎ分割された分割三角形のどれか一つを２分割すればよい。
三角形を２分割するには、ある頂点から対辺へ１本線をいれればいい。
２分割に分割されてできた２つの三角形の和はもとの三角形の和になるので、
ｎ＝ｋ＋１のときも成立　　　■

自分なりに証明してみました。添削お願いします！

回答No.3

sugakusya

＞ｎ＝ｋのときに成り立つと仮定する。
この文は「ｎを分割数とし、ｋ分割を考えたとき命題が成り立ったとする」が言いたいのですね？多分そのように変更したほうがわかりやすくて良いと思いますし、いっそのこと、

＞ｎ＝２のとき成立。
＞ｎ＝ｋのときに成り立つと仮定する。
＞ｎ＝ｋ＋１のときｎ分割された分割三角形のどれか一つを２分割すればよい。
・・・
＞ｎ＝ｋ＋１のときも成立　　　■

あたりを
「ｎ＝２のとき成立。
ｎ＋１分割された分割三角形のどれか一つを２分割すればよい。
・・・いかなるｎでも成立　　　■」
にしてみては？これでもいい事はあなたはわかるように思えます。
ただ、こうすると一見、ｎが分割数をあらわしている様に見えるが「ｎ＋１分割」が出てくるのでいま重要な分割数がぼやけ、ｎはただの自然数を表わしていることになる。やはりｋを使った方が分割数もｎにより明確に表せるし、もっと複雑な証明をするときなどは、よりきっちりした展開がやりやすいと思われる。

あと#2にあるように、一般のｎ分割について言えていません。例えば三角形の中に任意に１つ点をとる。その点から各頂点を通るように３つに分割するという分割方法をとると、その分割のラインは点の位置でわかれるため、あなたの方法では残念ながら不十分になります。数学的帰納法は離散的なすべての数での証明において極めて有効な方法でだが、数学的帰納法に落とし込むための一般化にある程度表現の縛りがあるので注意しなければならないことがわかりますね。

おそらくｎ＝２を安易に認めていることや、命題の内容から厳密に証明したいわけでなく、自分で作った問題だと思いますが、数学的帰納法のが目的ならばこんなところで大丈夫でしょう。

回答No.2

33550336

＞ｎ＝ｋ＋１のときｎ分割された分割三角形のどれか一つを２分割すればよい。
＞三角形を２分割するには、ある頂点から対辺へ１本線をいれればいい。
＞２分割に分割されてできた２つの三角形の和はもとの三角形の和になるので、
＞ｎ＝ｋ＋１のときも成立　

ｎ分割はｋ分割の間違いだろうという推測のもとで、さらにｎ＝２のときに成立することを認めたとしても、この証明では「ｋ分割した三角形のうちのひとつを２分割してできるｋ＋１個の細分三角形の面積の和がもとの三角形の和に一致する。」ことが言えただけで、一般のｋ＋１個に分割した三角形については言えていません。

回答No.1

koko_u_

>ｎ＝２のとき成立。
何故かを補足にどうぞ。

>ｎ＝ｋ＋１のときｎ分割された分割三角形のどれか一つを２分割すればよい。
何を言っているのかわかりません。k+1 分割されているものを更に分割して意味があるのですか？