積分計算

質問

こんにちは。。
∫dx/√(h^2+x^2)の計算なんですけど、なんかいろいろやってみてもできませんでした。
θを使って、x=tanθと置換して、
∫dθ/cosθ　などしてみたのですがうまくいきませんでした。
どなたかお願いします。

回答No.5

noname#75273 · ベストアンサー

>> ∫dθ/cosθ　ってなりますよね。
>> 今度はこれをどう計算したらよいか・・・
方針だけ。（∫は省略）
1 / cos θ = cos θ / 1 - sin^2 θ
　　= 1 / 2 { ( 1 / 1 - sin θ ) + ( 1 / 1 + sin θ ) } * cos θ
ここで、k = sin θ
あとは自力でがんばってください。

また、別解法として、x + √(h^2 + x^2) = t とおいて、
dt / dx = t / √(h^2 + x^2)
よって、与式 = ∫1 / t dt = log t + C = log (x + √(h^2 + x^2)) + C

お礼

またｋに置換すればcosθがなくなりさらにシンプルな式になりますね。

ほー下のようなやり方だと簡単に求まりますね！
そのように置換すると解けることを覚えておきます！

ありがとうございました。大変参考になりました。

回答No.4

sanori

へいっ　まいどっ　　＾＾

＞＞＞
ぼくが持っている参考書ではいきなり答えが
log(x+√(x^2+h^2)）となっているのですが、
これはなぜですか？？θで置換したのをもとに戻しただけでしょうか？

なんか変ですね。
log の中身である　x+√(x^2+h^2)　が、（物理学的に言えば）「次元を持っている」ことになるので、
その式はおかしいです。

いずれ、見かけ上異なる結果が出ても、形を変えれば同じになるはずです。

積分は得意ではないので、
これにて退散・・・・・

お礼

ありがとうございました。
たいへん助かりました！！

回答No.3

info22

x=h*tanθ(h>0)とおけば
dx=h*dθ/cos^2(θ)
1/√(h^2+x^2)=(1/h)cosθ
であるから
I=∫{cosθ/cos^2(θ)}ｄθ
=(1/2)∫2cosθ/{1-sin^2(θ)} dθ
=(1/2)[∫{cosθ/(1+sinθ)}dθ+∫{cosθ/(1-sinθ)}dθ]
=(1/2)log{(1+sinθ)/(1-sinθ)}+C
θを元のxに戻し計算を整理すると
I=arcsinh(x/h)+C

お礼

ありがとうございました。
そのようにすればできますね。

回答No.2

sanori

こんばんは。

ご質問文の　ｘ　＝　ｈ・tanθｘ　は、単なる書き間違いですよね？

ｘ　＝　ｈ・tanθ　と置けば、
∫ｄθ／cosθ　になりますものね。

さて、そのつづきですが、
下記リンクの１４番目の公式が答えです。
（sec は、１／cos のことです。「セカント」と読みます。）
http://markun.cs.shinshu-u.ac.jp/learn/biseki/no_5/text05m5.html

補足

お答えいただきありがとうございます。

このような公式がありましたか。
ぼくが持っている参考書ではいきなり答えが
log(x+√(x^2+h^2)）となっているのですが、
これはなぜですか？？θで置換したのをもとに戻しただけでしょうか？

回答No.1

noname#75273

x = h tan θ とおいてみては？

補足

すいませんそうおいたんですけど、∫dθ/cosθ　ってなりますよね。
今度はこれをどう計算したらよいか・・・