数学の問題です。難しいと思います。

質問

同一直線上にない3点があるとき、この3点を頂点とする平行四辺形は３つできますよね。
それでは、同一n－２次元空間上にないｎ点があるとき、このｎ点を頂点とするｎ－１次元平行立体はいくつ出来ますか?

回答No.9

noname#161636 · ベストアンサー

ANo5です。考えたことの途中まで書きます。

１　定義
(1)　n次元空間を構成する次元軸を d(1)～d(n)とおきます。
(2)　同一n-1次元空間上にない「n個の点」を頂点とするn-1次元平行立体（以下では[n-1次元平行構造体]ということにします）の頂点の数をN(n)とします。
(3)　(2)の条件において出来る[n-1次元平行構造体]の数をP(n)とします。

２　頂点の数 N(n)について：N(n-1)とN(n)との関係式を考えます。
・N(n)は
　N(n-1)の点をd(n-1)軸方向へ平行移動して得られる写像点の数 XとN(n-1)の和で求められます。
　→N(n)=not=2n　と考えます（[n-1次元平行構造体]のため）。
→[n-1次元平行構造体]であるためには[平行構造体]をさらに新たな軸方向に平行移動して得られる構造体でなければなりません。
・d(n-1)軸はd(1)軸～d(n-2)軸とは次元が異なるので
　X=N(n-1)となります。
・N(n)=2*N(n-1) の関係式が得られます。…(4)
　→(4)を解くと N(n)=2^(n-1) が得られます。…(5)
　　（2^(n-1)は「2の(n-1)乗」の意味です。）

・検証：N(3)=2^2=4 平行4辺形の頂点数は4
N(4)=2^3=8 平行6面体の頂点数は8
N(5)=2^4=16 [4次元平行構造体]の頂点数は16
　 N(5)の構造体が　4次元平行構造体であるためには
　　　　　N(5)の構造体は
　　　　　N(4)の構造体（平行6面体）の各頂点をd(4)軸方向に平行移動して得られる構造体でなければならない。ゆえにN(5)=2*N(4)=16

３　[n-1次元平行構造体]の数P(n)
・n=4 の場合から考えます。
　・同一2次元空間（平面）上にない4点を頂点とする3次元平行構造体（立体）は明らかに平行6面体である。
　・P(3)=3
　・P(4)はN(3),N(4),P(3)の関係式で表すことが出来ると予想します。
　・P(4)は8頂点から4点を選ぶ組み合わせで同一平面上にない場合の組み合わせ件数との関係式でも記述できると予想するのですが、行き詰まっています。
とりあえずここまで考えてみたのですが…考え方おかしいでしょうか。

補足

本当に詳しくありがとうございます。
すみません。正直高1レベルではよくわかりません。質問しといて本当にすみません。
２でですが、No.4、7の33550336さんはP(n)は2nだといっていますよね。確かにN(3)=2^2=4などからあっている感じはしますが、自分ではどちらが正しいのかわからないので、誰かかわりに意見を言ってくれないでしょうか。どこが違うのかもよろしくお願いします。
３もなんとなくわかるんですが、うまくいくかはわからないです。

回答No.10

33550336

ANo4です。
まず問題を解く前に「n-1次元平行立体」の定義をはっきりさせておくべきでしたね。
平行立体の定義をANo9さんのようにした場合、頂点の数は2^(n-1)となります。
そして自分の回答では「平行立体」というものを明確に定義せずに使用しており、頂点の数を出す根拠やその他もろもろの議論が極めて曖昧なものになってますね…

そしてn=4の場合でもあなたのおっしゃる通り、どの３点も同一面内に属さない場合が確かにあります。

以上、自分の浅学さを痛感させられました…

回答No.8

33550336

何度もすいません。

以下、n=4の場合に限って考えます。
このとき、最初に与えられた４点を頂点に持つ平行６面体は、
与えられた４点のうち３点を共有する面が少なくとも１つ存在します。
つまり、選んだ３個の点をどの面も通らない場合はありえないです。
もしこれがあり得たとする。
面を１つとったとき、その上には与えられた４点のうち、２点しか存在しない。
この２点と同じ面上にある頂点はあと４点しかないから、
残りの２点の位置が決まってしまうが、このとき、４点は同一平面上に並ぶ。

なので選んだ３点をどの面も通らない場合を考える必要はありません。
ですが、先ほどの回答は重複を考えていませんでした…

n=4の場合に限って漸化式を使わずに考えると、
4(３点を選ぶ)*3(もう１点を選び面を確定)
この１２通りの選び方に対し、残りの１点がどの頂点と結ばれるかを考えて場合分けします。

（１）新たに選んだ１点と結ぶ場合
選んだ３点以外はどの３点も同じ面上にないので重複はなし。

（２）新たに選んだ１点の向かい側の点と結ぶ場合
もとの４点のうち、結んだ点を含む３点はすべて同じ面内に存在。
よってこの平行立体は３回数えることになる。

（３）その他の点と結ぶ場合
同様にして考えると２回数えることになることがわかる。

以上の考察から
12/3+12/2*2+12=28個ではないでしょうか？

一般のｎに関してはまた考えてみます。

補足

a_______________b
　　/　　　　　　　　　/　|
　　d-----------c　|
　　|　　　　　　　　　|　|
　　|　　　　　　　　　|　| f
　　|　　　　　　　　　|　/
　　h-----------/g
何度もありがとうございます。
下のような立方体で（見にくくてすみません）、4点がacfhのとき、同一平面上ではなくて、各平面2つずつ点を持つようにならないですか?
ほかのところはあってるような気がします。

回答No.7

33550336

ANo4です。
すいません、ごもっともです。

まず補足から。
頂点の数は
2(n-1)n/(n-1)=2n
で求まりますよね。
そして「したがって」以降の考察は不要ですね。すいません。

解答ですが、n-1個の点を選んで平行な面をひとつ定めたあと、
残りの１点がどの面と結ばれるかでさらにn-1通りありますね。
だから漸化式は
P(n)=n*P(n-1)*(n-1)
となるのでしょうか。
よって、
P(n)=(n!)((n-1)!)/4
ですかね…。
まだ数え漏れがあるかもしれませんが。
ちなみにこれが正しければP(4)=36となりますね。

補足

まず、>n-1個の点を選んで平行な面をひとつ定めたあと
については、n-1個の点をどの面も通らない場合がありますよね。（n=4の場合は下に書いたような感じで）
ほかの事は後で考えてから書きます。

回答No.6

noname#161636

ANo5です。

先の回答の最後の3行言葉足らずでした。

ｎ-1次元空間上の（同一）ｎ-2次元空間上にないｎ個の頂点を考えたとき、ｎ個の各点を基点とするベクトルは理論上考えられますので、その総和により求められる点もｎ個できると推測できます。

（同一）を追加、「てにをは」を訂正しました。

補足

皆さん、まずは4点3次元の場合について何個になるか意見を言ってもらえるとうれしいです。

回答No.5

noname#161636

シロウトですので間違っているかもしれません。

2次元空間上の1直線上にない3点を頂点とする平行四辺形の場合で考えます。

3点をＡ、Ｂ、Ｃとします。

Ａを基点とするベクトル（→と表記します）を考えると
→ＡＢ　と→ＡＣの総和によって平行四辺形の１点が定まります。

同様にＢ、Ｃを基点とするベクトルをそれぞれに考えると
二次元空間上の1直線状にない3点では3個の平行四辺形ができます。

3次元空間上の同一平面上にない4点の場合も４つの頂点からのベクトルの総和でもって異なる平行6面体ができます。

4次元空間以上ではにわかにイメージできないのですが、同様のロジックでいけるのではないでしょうか。

ｎ-1次元空間上のｎ-2次元空間上にないｎ個の頂点を考えたとき
ｎ個の各点を基点とするベクトルは理論上考えられますので、その総和
により求められる点もｎ個できるとの推測できます。

補足

ベクトルはあまりよくわからないのですが、多分3次元以上だとその3つのベクトルが一辺になっていなくてもいいのではないのでしょうか?
それから、3次元だともっと多いと思います

回答No.4

33550336

同一n－２次元空間上にないｎ点があるとき、このｎ点を頂点とするｎ－１次元平行立体の個数をP(n)とする。
このような平行立体の面の次元はn-2で
その面の個数は2n-2個
またn-2次元の面にはn個の頂点がなければならない。（面が定まらないため）
さらに、どの頂点も平行な２対の面のいずれかに含まれていなければならない。
このことから頂点の個数は２ｎとわかる。
したがって、平行立体の任意のｎ－１個の頂点を含む平行立体の面が存在。

さて、本題だがｎ個の点からｎ－１個の点の選び方はｎ通り。
これらの点を含むｎ－１次元の超平面はただ一つに決まる。
また、これらの点を頂点とする面の作り方はP(n-1)通りある。
よって、P(n)=n*P(n-1)
が成立。
P(3)＝３より
P(n)＝n!/2

補足

>このことから頂点の個数は２ｎとわかる。
>したがって、平行立体の任意のｎ－１個の頂点を含む平行立体の面が
>存在。
これがどういうことかよくわかりません。

>さて、本題だがｎ個の点からｎ－１個の点の選び方はｎ通り。
>これらの点を含むｎ－１次元の超平面はただ一つに決まる。
>また、これらの点を頂点とする面の作り方はP(n-1)通りある。
>よって、P(n)=n*P(n-1)
P(n-1)通りの面があってもそれを持つ平行立体ってひとつじゃないですよね。

それから、n=4だと１２になるんですが、実際もっとありますよね。
1平面に3個の点が入っている場合、
４（n点からn-1点を選ぶ）＊３（n-1点で作る面の数)*4(その面と残った点を使って出来る平行立体の数）－重複（0+6+9+12=27?）
で、
どの平面にも2つしか点が入っていない場合、
同一平面上に4点はないので、2通り
よって
48-27+2=23?
これであっているかはわかりませんが、１２よりは多いと思います。

回答No.3

kabaokaba

#1です．
あー，記号で混乱した．間違ってるけど
(n+1)個といおうとしたんだった．

で，あーなるほど＞#2
確かに，一次変換して
原点と標準ベクトルだけ考えれば十分ですが
重なりがあるのを忘れてました．
次元に関して漸化式立てられないでしょうか

> 一次独立なn個のベクトルが平行n面体を構築するというのがわかりません
たとえば，e1,e2,...,enをR^nの基底として
k1e1+k2e2+・・・+knen (k1+k2+・・・+kn<=1，ki>=0)
で表される図形がちょうど半分になるものが
当該図形になるわけですよね

補足

4点のときは何個になるでしょうか?

回答No.2

Tacosan

n次元だから「平行 2n 面体」だなぁと思いつつ, 実際にはそんなに簡単ではないと思います＞#1.
というか私も最初は「n通り」と思ったんですが, よく問題文を読むと単に「頂点」としか書いてありません. つまり, 3次元で (0, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0) の 4点が与えられたときに単位立方体も許されることになってしまいます. なので, もっと多くなるはずです. 平面上だとたまたま「3点のうち 2点は隣接しなければならない」「3点目は隣接する 2点の一方と隣接しなければならない」という条件が出てくるので簡単なんですが, 3次元以上ではとても面倒です.
問題の条件から一般性を失うことなく n+1 点を (0, 0, ..., 0), (1, 0, ..., 0), (0, 1, ..., 0), ..., (0, 0, ..., 1) とおいていいはずなんですが.... 単純に考えるとどうしても同じものを複数回数えてしまいそうなので, まだ見えてないです.

回答No.1

kabaokaba

記号の使い方が・・・まぎらわしい

R^nを全体空間とする．
(n+1)点が同一の(n-1)部分空間にないとき，
これら(n+1)点を頂点とする平行n面体はいくつあるか

(n+1)個の点から1点を選ぶことで
一次独立なn個のベクトルが得られる（これが従属するということが
(n+1)点が同一の(n-1)部分空間にあることと同値）．
これらが平行n面体を構築する．
よってn個．

補足

あまりよくわからないのですが、その答えだと３点のとき２つになるので違うと思うんですが。
その問題だとｎがｎ＋１になっていて1個増えてますよね。（それはいいんですが。）

一次独立なn個のベクトルが平行n面体を構築するというのがわかりません。
それから、平行n面体ではなくｎ次元平行立体だと思います。