フェルミ分布の微分形

質問

フェルミ分布の微分形の半値幅の求め方を教えてください。

回答No.2

vortexcore · ベストアンサー

＞＞df/dx=-exp(x)/(1+exp(x))^2。これはx=0で-1/4
＞なぜ、X=0にしているのでしょうか？

df/dxはx=0でピークの最大値（負だからディップの最小値といった方が正確ですが）のをとるからです。これはグラフを書けばすぐわかります。

＞＞y/(1+y)^2=1/8
＞1/8は、どのようにして求められた数値ですか？

1/4の半分は1/8です。求めたいのは「半値幅＝ピークの高さが半分となったところの幅」ですから。

回答No.1

vortexcore

折れ線近似で幅がkTというのはよくやりますが、微分して半値幅は考えたことなかったです。Sommerfeld展開につなげるにはこちらの方がいいのかな？

f=1/(1+exp(x))
x=(ε-μ)/kT

ですから、df/dx=-exp(x)/(1+exp(x))^2。これはx=0で-1/4。したがって、y=exp(x)とおいてy/(1+y)^2=1/8を満たすyを求めればよい。書き直すと、y^2-6y+1=0ですから、y=3+2√2（もう1つの解はダメ）。したがって、x=ln(3+2√2)～1.76となりました。つまり、ε-μ～1.76kT。半値全幅だとこの倍になります。

お礼

どうもありがとうございました。

つまり、約３．５ｋTぐらいってことですね。

補足

ご返信ありがとうございます。

わからない点があります。

＞df/dx=-exp(x)/(1+exp(x))^2。これはx=0で-1/4
なぜ、X=0にしているのでしょうか？

＞y/(1+y)^2=1/8
1/8は、どのようにして求められた数値ですか？

すいませんが、よろしくお願いします。