フェルミ分布関数

質問

(1)本当に基礎的な質問なのですが、フェルミ分布関数は絶対零度で階段関数になります。このとき、フェルミエネルギー以上には電子はつまりません。
これは数学的にはフェルミ分布関数が階段関数なので当然なのですが物理的に、直感的に言葉で説明するとどうしてなのでしょうか。
(2)例えば絶対零度の系の化学ポテンシャルよりもおおきな化学ポテンシャルの系と絶対零度の系を考えます。このとき相互作用させて電子の移動をゆるしたら、絶対零度の系でもフェルミエネルギー以上の軌道に電子はつまるのでしょうか。
ご教授お願いします。

回答No.5

nomercy · ベストアンサー

＞１粒子が系に加わることによるエネルギーの増減ととらえています

この描像から絶対零度において
　（化学ポテンシャル）＝（Fermiエネルギー）
となることを説明すると次のようになるかと思います。

Fermi粒子系が絶対零度にあるとする。
Fermi粒子は下から順に準位を占有しており、FermiエネルギーεFまで詰まっている。
ここに粒子を一個付け加えることを考える。
系が絶対零度であることを保ったまま粒子を一個付け加えるにはFermi面直上に付け加えるしかない。
つまり
　（粒子一個を温度を保ったまま付け加えるのに必要なエネルギー）
　≡（化学ポテンシャル）
　＝（Fermiエネルギー）
となる。

これで絶対零度の場合には理解できると思います。
有限温度の場合にはちょっと想像しづらくなりますね。

お礼

丁寧な解説ありがとうございます。nomercyさんにはいつもお世話になっています。これで絶対零度のフェルミ系のイメージが湧きました。これも皆さんのアドバイスのおかげです。僕は数式の変形だけでは物理を理解したことにならず、きちんと言葉で説明できて初めて理解したものだと思っています。

回答No.4

PAM123

補足です。

>化学ポテンシャルはUを粒子数nで微分したものだと思っています。１粒子が
>系に加わることによるエネルギーの増減ととらえています。この場合、系の
>化学ポテンシャルはあらかじめ与えられているものですよね。

上記のように理解しているのであれば、まさに系に１個電子を加えたときに増えるエネルギーというのが、電子が詰まったてっぺんのエネルギー＝Fermi準位そのものじゃないですか。

お礼

解説ありがとうございます。僕はそこではなくて、「化学ポテンシャルはあらかじめあたえられたもの」というところに引っ掛かってました。つまり化学ポテンシャルは系の初期条件で定まる（温度にも依存しない）定数だと思ってました。

回答No.3

PAM123

まず言葉の定義からいうと、
絶対零度での化学ポテンシャルをFermi準位と言う。
化学ポテンシャルは粒子のやり取りを許す系での平衡条件を
あたえるもので、粒子の出て行きやすさのような量です。

つまり、系ＩとIIを考えIIの化学ポテンシャルが高いとIIからIへ粒子が移動していきIとIIの化学ポテンシャルが一致する。
この化学ポテンシャルの絶対零度での値をFermi準位と呼んでいます。

なので、
電子がぎっしりつまったてっぺんのエネルギーという性質と
粒子移動の平衡条件という性質が、
同じことになる直感的説明を知りたいというのが、質問だと思いました。

そうとらえた上で以下のような説明を考えましたがどうでしょうか？

絶対零度で考えます。すると化学ポテンシャルとFermi準位は同じこと
なのになります。

Ferm準位（＝化学ポテンシャル）の異なる金属I　IIをくっつける。
IIの方がFerm準位（＝化学ポテンシャル）が高いとする。

IもIIも電子が低いエネルギー準位から順に電子がつまっていますが、
めいっぱいつまった、てっぺんの高さ（つまりFermi準位＝化学ポテンシャル）はIIの方がたかい。
つまり、IIの方がIより高い準位まで電子が存在して、電子がIIに偏って存在している。
そのため、平衡状態になるために、
IIのほうからIの方へ電子が流れ込む。
これは両者の高さが一致して終わる。
つまり、Fermi準位（＝化学ポテンシャル）が一致する。

と、上記のように考えると、
電子がぎっしりつまったてっぺんのエネルギーという性質と
粒子移動の平衡条件という性質が
同じと感じられると思いますが、どうでしょうか？

お礼

親切な解説どうもありがとうございます。PAM123さんにはいつもお世話になっています。ほんとうにたすかります。
やはり、フェルミ準位の異なる絶対零度の系をやりとりさせたら電子の移動があるのですね。イメージがわき、納得しました。

回答No.2

nomercy

絶対零度において
　（化学ポテンシャル）＝（Fermiエネルギー）
なのは何故か？ということですが、
化学ポテンシャルの定義をどのように考えていますか？

お礼

化学ポテンシャルはUを粒子数nで微分したものだと思っています。１粒子が系に加わることによるエネルギーの増減ととらえています。この場合、系の化学ポテンシャルはあらかじめ与えられているものですよね。

回答No.1

PAM123

まず（１）。
絶対零度のなので熱による揺らぎで高いエネルギー準位にあげられることはないので、単純にエネルギー準位の低い状態から順番に粒子がつまった分布になる。Fermi粒子では、一つの量子状態に１個しか入れないので、粒子数が切れればおわり。つまりそのエネルギーより、低いエネルギーには粒子がぎっしり、それより高い準位では、全く存在しない。という状態になる。
このエネルギーがFermiエネルギー。温度が絶対零度でなければ、揺らぎでFermi準位より高い状態にもある確率で存在する。
（２）は
質問の意味を誤解してないといいですが、化学ポテンシャルの異なる二つの系を接触させるなどすると、平衡状態では、化学ポテンシャルが一致しないといけないので、化学ポテンシャルが一致するようになるまで、化学ポテンシャルの高い方から低い方へ、粒子の移動がおこります。

この辺は半導体分野のＰＮ接合と同じ話だと思います。

お礼

解答ありがとうございます。幾つか聞きたい点があるのですが、
(1)粒子をぎっしり詰めたときのエネルギーがフェルミエネルギーとのことですが、ではどうしてそのエネルギーが系の化学ポテンシャルに一致するのでしょうか。数式からは自明なのですが、自分は式の物理的な背景も知りたいです。
(2)ということは絶対零度の系に電子が流れ込むと解釈してよいのでしょうか。
相互作用の前はフェルミエネルギーまで電子はびっしりつまっています。相互作用後に系の化学ポテンシャルが増加し、フェルミエネルギーも上がるのでしょうか。
解説よろしくお願いします。