物理の問題

質問

物体Ａを初速度Ｖで鉛直方向に投げ上げ、時間τを隔て同じ場所から物体Ｂを初速度Ｕ（＜Ｖ）で投げ上げ、ＡとＢが最も早く出会うときのτなんですが

私は
ＶＴ―１／２ｇＴ＾２＝Ｕ（Ｔ＋τ）－１／２ｇ（Ｔ＋τ）＾２
と式をおいて解いてみようと思ったのですが解けません。そもそもこの式があってるかどうかもわからないのでアドバイスやヒント、解き方を教えてください。お願いします。

回答No.3

Meowth · ベストアンサー

Bを投げてから出会うまでの時間Tを最小にする場合：
VT-1/2gT^2＝U(T+τ)-1/2g(T+τ)^２
U/V=u gτ/V=x gT/V=X
U=Vu　τ=xV/g T=XV/g
を代入して、
X-1/2X^2＝u(X+x)-1/2(X+x)^2
X=x(2u-x)/{2(x+1-u)}
2u-x=0のとき　X=0で最小

Aを投げてから出会うまでの時間Tを最小にする場合：
VT-1/2gT^2＝U(T-τ)-1/2g(T-τ)^２
U/V=u gτ/V=x gT/V=X
とすれば
U=Vu　τ=xV/g T=XV/g
を代入して、
X-1/2X^2＝u(X-x)-1/2(X-x)^2
X=x(2u+x)/{2(x-1+u)}=1+[(x+u-1)+(1-u^2)/(x+u-1)]/2
0＜u＜1
1+[(x+u-1)+(1-u^2)/(x+u-1)]/2
≧1+√[(x+u-1)×(1-u^2)/(x+u-1)]
=1+√(1-u^2)
最小となるx は
(x+u-1)^2=(1-u^2)
x=1-u+√(1-u^2)
または微分して
dX/dt=0
x=1-u+√(1-u^2)

お礼

ありがとうございました。

回答No.5

noname#63037

NO.4の回答で「前の回答」と書いたのは、No.2の回答のことでした。入力している間に新しい回答No.3が投稿されていました。失礼しました。

お礼

ありがとうございました。

回答No.4

noname#63037

式については前の回答でよいのですが、「ＡとＢが最も早く出会う」というのを、「Ｂが出発してから」ではなく、「Ａが出発してから」と解釈すると、答えは違ってきますね。その場合には、あなたの式でもよいのですが、飛行中のＡとＢの加速度が同じであることに着目して、Ｂが出発した時のＡの高さ（ＡとＢの距離）ｈと、その時のＡとＢの相対速度ｗから衝突までの時間を ｈ／ｗ と求め、その時間にτを加えたものが最小になるτを求めてもよいでしょう。

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

yokkun831

蛇足ですが，（T+τ）のところを（T-τ）とすべきだったのです。
それで問題は解決。

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

bibendumbibendum

τ＝2V/gです。
このとき物体Aは上から落ちてきて元の位置に戻っていますので
Bを投げると同時にAと出会います。

数学的に解こうとするとBを投げてからAと出会うまでの時間をｔとして
V（τ＋t）-1/2g（τ＋t）＾２＝Ut-1/2gt＾２で
ｔ＝τの式に変形します。
tが最小になるようなτを求めます。

お礼

ありがとうございました。