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重力落下の問題です。
問題が 「t=0で物体Aを初速度0で落下させる。時間がt1秒経過した後に、 今度は下向きの速度v1で物体Bを落下させる。物体Bが物体Aに 追いつくには、t1とv1がどのような条件を満たしていなければ ならないか」 というものです。 自分なりにその問題の載っているテキストなどを参照しながら、 以下のように考えたのですが、これで考え方は合っていますでしょうか？ また、これが合っているとしても条件をどのように出したらよいのか わかりません。ご指摘くださると助かります。 物体Bが物体Aに追いつくまでの時間をt2として 物体Aの位置をXAとすると、 XA=-(1/2)g(t1+t2)^2 + x0 物体Bの位置をXBとすると、 XB=-(1/2)gt2^2 + v1t2 + x0 追いつくため、XA = XB ということで考え方は合っていますでしょうか？
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下向きを負とすると、ＸＢは -(1/2)gt2^2 - v1t2 + x0 ではないでしょうか。そのうえでＸＡ＝ＸＢとおくと －（１／２）ｇｔ１＾２－ｇｔ１ｔ２＝－ｖ１ｔ２ （１／２）ｇｔ１＾２＝ｔ２（ｖ１－ｇｔ１） となります。左辺は正（ゼロ以上かも）でなくてはならないので Ｖ１＞ｇｔ１（＞＝かも） となります。 これでも解けるのですが、実は式は不要で、 ｔ１以降、二つの物体は同じ加速度を受けつつ運動する。従ってｔ１における物体Ｂの速度Ｖ１は少なくとも物体Ａと同じ（Ａより大かも）でなければＢがＡに追いつくことはない。 と考えればｖ１＞ｇｔ１（＞＝かも）が導かれます。 不等号に＝が付くのはｔ１＝０のとき、つまり同時に自由落下させることを意味しますが、これは「追いつく」ではないように思います。
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- gohtraw
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ｖ１＝ｇｔ１となるのはｔ１＝０、ｖ１＝０のときに限られ、これは両者を同時に自由落下させることを意味します。 一方「追いつく」というのは遅れていた（より上方にあった）ＢがＡと同じ高さになるということなのでｔ１＝０は考えなくてもいいと思います。 従って不等号に＝は不要で、「従ってｔ１における物体Ｂの速度Ｖ１は少なくとも物体Ａと同じ（Ａより大かも）でなければＢがＡに追いつくことはない」は「従ってｔ１における物体Ｂの速度Ｖ１は物体Ａより大でなければＢがＡに追いつくことはない」となります。
補足
gohtrawさん 回答ありがとうございました！ 確かにt1=0になると、最初から同時に落としたことになりますしね。 本当に助かりました！
- sanori
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コメントにお答えします。 ＞＞＞ 下向きの力Fのみをプラスにしてしまうと v1・tの符号がFをマイナスで考えた時の符号と異なってしまうのは 大丈夫なんでしょうか？ 上向きでも下向きでもよいです。 とにかく、位置（座標）、速度、加速度という３つのものの方向を統一すれば大丈夫です。 もちろん、力もです。（加速度 ＝ 力 ÷ 質量 ですから） 加速度については、上向きをプラスとして考えれば、ｇの値を ｇ＝－９．８ としなければいけません。 ｔは、過去か未来かの世界ですので、上記の３つとは別に考えて大丈夫です。
補足
sanoriさん >>上向きでも下向きでもよいです。 >>とにかく、位置（座標）、速度、加速度という３つのものの方向を統一すれば大丈夫です。 sanoriさんとgohtrawさんのおかげでこの間違いに気づきました！ お二人ともありがとうございます。 計算も無事解くことができました！
- sanori
- ベストアンサー率48% (5664/11798)
こんばんは。 面白い問題ですね。 下向きをプラスにした式にしちゃいましょう。 ｇも正の値になります。 そして、ｘ0 を書くのは、この問題の場合は無意味なので、やめましょう。 落とす位置をゼロにすればよいです。 ｘA ＝ １／２・ｇｔ^2 ｘB ＝ １／２・ｇ（ｔ－ｔ1）^2 ＋ ｖ1・ｔ 追いつく条件ですが、「ちょうど追いつく」ということではなく追い越してもよいので、 ｘA ≦ ｘB です。 （そもそも、追いついてから同じ速さで並走するわけではないので） よって、 １／２・ｇｔ^2 ≦ １／２・ｇ（ｔ－ｔ1）^2 ＋ ｖ1・ｔ 少し計算して ０ ≦ １／２・ｇ（－２ｔ1・ｔ ＋ ｔ1^2） ＋ ｖ1・ｔ ・・・（あ） この不等式（あ）を満たすｔが存在すれば、ＢはＡに追いつきます。 しかし、題意からｔの範囲は、 ｔ ≧ ｔ1 ・・・（い） です。 ということは、連立不等式（あ）、（い）を解けばよいということです。 等式ではなく不等式ですので、両辺に同じ数をかけたり割ったりするときは、符号に注意してください。 ご参考になりましたら幸いです。
お礼
sanoriさん 丁寧な回答ありがとうございました！ 無事解けました！
補足
sanoriさん 回答ありがとうございます。 >>下向きをプラスにした式にしちゃいましょう。 >>ｇも正の値になります。 下向きの力Fのみをプラスにしてしまうと v1・tの符号がFをマイナスで考えた時の符号と異なってしまうのは 大丈夫なんでしょうか？
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gohtrawさん >>下向きを負とすると、ＸＢは >>-(1/2)gt2^2 - v1t2 + x0 >>ではないでしょうか。 あー！！sanoriさんへ私の書いた補足内容も含めて理解しました！ そうですよね、下向きの力なんですから、v1は当然マイナスですね！ ありがとうございます。 >> これでも解けるのですが、実は式は不要で、 >>ｔ１以降、二つの物体は同じ加速度を受けつつ運動する。従ってｔ１における物体Ｂの速度Ｖ１は少なくとも物体Ａと同じ（Ａより大かも）でなければＢがＡに追いつくことはない。 >>と考えればｖ１＞ｇｔ１（＞＝かも）が導かれます。 >> 不等号に＝が付くのはｔ１＝０のとき、つまり同時に自由落下させることを意味しますが、これは「追いつく」ではないように思います。 確かにこちらの方が簡単に出ますね^^； この場合（上の解き方の場合も）、t1の条件は、t1>0ということで大丈夫ですか？