高校物理I 落下運動の問題

質問

（問題）
ある高さから物体Aを静かに放し、自由落下させてからt[1]〔s〕後に、物体Bを物体Aを放した位置から初速v[0]〔m/s〕で鉛直下方に投げ下ろした。物体Bを投げ下ろしてからの時間をt〔s〕、重力加速度の大きさをg〔m/s^2〕、鉛直下方を正の向きとし、物体には重力だけがはたらくものとする。

空中で物体Bは物体Aに追いついた。物体Bを投げ下ろしてから追いつくまでにかかった時間を求めよ。
（ここまで）

追いつく＝落下距離が同じ、と考え、y=v[0]t+gt^2/2の公式を使い、

物体A…y=g(t[1]+t)^2/2
物体B…y=v[0]t+gt^2/2

という2つの式をたて、代入して

g(t[1]+t)^2/2=v[0]t+gt^2/2

を計算してみたのですが、答えが合いません。
どこが間違っているのでしょうか？

回答No.1

Quarks · ベストアンサー

考え方は、正しいです。立式も正しくなされています。この後は、正しく変形すれば、正解が得られるはずです。
なお、稀に、解答が間違っている場合もあります。

ちなみに、この手の問題では、次のように解釈することも可能ですので、ご参考までに。

共に落下運動中は、加速度が等しいので、結果的には鉛直方向の、加速による影響を無視してもかまわなくなります。言い換えると、Ｂが追いかけ始めた後は、加速の分を無視して計算できるのです。つまり、

この後Ａ，Ｂが等速運動するものとして計算しても、正しい結論に達するということです。

Ｂが出発した時の速度が ＶB=ｖ[0] この瞬間のＡの速度は ＶA＝ｇ・t[1]
∴Ｂから見たＡの、相対速度はＶ＝ＶA－ＶB　です。
ＶB>ＶA　なら、追いつけます※。　Ｖ[0]>ｇ・t[1]　が追いつけるために満たさなければならない条件です。

※ＶB＞ＶA　ということは、相対速度　ＶA－ＶB　は　負の数ということです。
速度が負の数ということは、この場合は、Ｂから見ると、ＡがＢの方（上方）に向かってくるように見えるということです。　
その近づく速さは、　|ＶA－ＶB|=ＶB－ＶA　です。

また、Bが出発した瞬間の、Ｂから見たＡの位置は、鉛直下方向に　Ｘ＝(1/2)ｇ・t[1]^2　です。

この後ＢがＡに追いつくまでの時間ｔは、Ｘを、相対速度Ｖの速さ（|Ｖ|）で進む時に要する時間と同じです。

∴　ｔ＝Ｘ/|Ｖ|＝Ｘ/(|ＶA－ＶB|)＝Ｘ/(ＶB－ＶA)＝…

で計算できます。

お礼

遅くなってすみません。

よく見直してみたら、v[0]tを２倍するのを忘れてたのが原因だったようです…。
それからちゃんと正しい答えが出ました。

別の考え方も参考になりました。
ありがとうございます！