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積分(基礎)
inara1の回答
A > 0 なら以下のように置換するといいでしょう。 x = A*sinh(t) すると、 dx = A*cosh(t) dt、√( A^2 + x^2 ) = A*cosh(t) なので ∫1/√( A^2 + x^2 ) = ∫dt = t + C = arcsinh( x/A) + C です。これでは答えになっていないのなら、さらに簡単にもできます。 x = A*sinh(t) = ( A/2 )*{ e^t - e^(-t) } なので、X = e^t とおけば、この式は X に関する2次方程式なので簡単に解けて X = x/A ±√( x^2/A^2 + 1 ) となります。ここで X = e^t > 0 なので解は X = x/A +√( x^2/A^2 + 1 ) だけになります。X = e^t なので t = ln(X) = ln{ x/A + √( x^2/A^2 + 1 ) } = ln[ { x + √( x^2 + A^2 ) }/A ] ∫1/√( A^2 + x^2 ) = ∫dt = t + C = ln[ { x + √( x^2 + A^2 ) }/A ] + C = ln[ { x + √( x^2 + A^2 ) } + C' このような置換は簡単には思いつかないので、次の不定積分は覚えておいたほうがいいです。 ∫dx/√( 1 + x^2 ) = arcsinh( x ) + C ∫dx/√( 1 - x^2 ) = arcsin( x ) + C この公式から置換の式を類推できるはずです。
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