3つのさいころを2回投げたとき同じ結果が出る確率…

質問

「3つのさいころを2回投げたとき同じ結果が出る確率を
（a）さいころが区別できる場合 (b)さいころが区別できない場合、
　について求めよ。」という問題なのですが
この解答が(a)1/216　(b)83/3888　だそうです。
どうして(b)の解答がこのようになるのかわかりません。
この問題が載っていた本には解答しか出ていなく、
自分なりに無い脳みそをフル回転させたのですがとうとうストールしてしまいました。
どうか皆様のお力で、
　この答えが正しいのか？
　正しいならばどういうプロセスで導き出されたか？
をご教授頂けませんでしょうか。

回答No.1

kumipapa · ベストアンサー

解答は正しいと思います。

(a) さいころが区別できる場合
３つのさいころが、大、中、小の 3 つとしましょう。
「２回投げたとき同じ結果」というのは、大、中、小　3つのさいころがそれぞれ１回目と２回目の目の出方が同じ場合です。
大、中、小それぞれが１回目と２回目で同じ目になる確率は 1/6 ですから、３つともに１回目と２回目で同じ目になる確率は (1/6)^3 = 1 / 216

(b) さいころが区別できない場合
「区別できない場合」は、「区別できても区別しない」と同じです。
(a)にならって、さいころは大、中、小の 3 つとします。さいころの出た目を（大、中、小）と表すとすると、
たとえば１回目が（１，２，３）　（大が１、中が２、小が３）であったとき、２回目が（１，２，３）は当然「同じ結果」ですが、それ以外にも、
（１，３，２）、（２，１，３）、（２，３，１）、（３，１，２）、（３，２，１）
の計６通りが「同じ結果」とみなされることになります。これが、「区別できない（区別しない）」場合です。

まず最初に、２回さいころを投げたときの目の出方の全ての場合の数を求めましょう。１回目の目の出方は、大、中、小、それぞれのさいころに６通りの目の出方がありますから 6^3 通り。２回目の出方は、（１回目の出方のそれぞれの場合に対して）やはり 6^3 通りの目の出方がありますから、２回投げたときの全ての目の出方の場合の数は　6^3 × 6^3 ＝　6^6 通り。

次に「同じ結果」となる場合の数を求めます。それには、１回目の目の出方が
(1) ３つのさいころの目がすべて異なる場合
(2) ３つのさいころのうち、２つは同じ目で１つが異なる場合
(3) ３つのさいころが全て同じ目である場合
の３通りに分けて場合の数を求めて合計する必要があります。
(1) １回目の３つのさいころの目が異なる場合の数は 6Ｐ3 = 120 通り。それぞれの場合に対して、２回目に「同じ結果」になる場合の数は（１回目の目を３つのさいころに並び替える場合の数だけあるので）3! = 6 通り。故に、１回目に３つのさいころの目が異なって、かつ、２回目に同じ結果になる場合の数は 120 × 6 = 720 通りあります。
(2) １回目に３つのさいころのうち２つは同じ目で１つが異なる場合、１回目の目の出方は、3Ｃ2 × 6 × 5 = 90 通り。それぞれの場合に対して、２回目に「同じ結果」になる場合の数は、やはり１回目の目の出方を並び替える場合の数だけあり、 3 通り。故に、１回目に２つは同じ目で１つが異なる場合で、２回目に同じ結果になる場合の数は 90 × 3 = 270 通りあります。
(3) １回目に３つのさいころが同じ目である場合、１回目の目の出方は 6 通り。それぞれの場合に対して２回目に同じ結果になるのは 1 通りしかありません。故に、１回目に３つのさいころが同じ目で、２回目に同じ結果になるのは全部で 6 × 1 = 6 通り

以上より、「同じ結果」になる場合の数は (1), (2), (3) の結果を足して 996 通り。故にその確率は、996 / 6^6 = 38 / 3888

お礼

とてもわかり易い説明をして頂き、ありがとうございました。
おかげさまで、コンガラガっていた場合分け後の処理がスッキリと理解できました。
初めての質問なので少し緊張していたのですが、このような親切な回答を頂いてホッとしております。
本当にありがとうございました。

回答No.3

narucross

こんばんは。
>自分なりに無い脳みそをフル回転させたのですがとうとうストールしてしまいました。
ストールするまでに考えたことを具体的に書いてみましょう。

さいころが区別できない場合に、どういう目がでるのか、またそれはどれだけの確率で起こるのか考えてみましょう。大切なのは手を動かして試行錯誤していく中で何らかの考察を試みることです。前者の場合なぜ、いとも容易く1/216という答えを得たのでしょうか。
それは、一回目の三つの目がなんであろうが、二回目にその同じ三つの目を引き当てることが同じ確率で起こるからですね。
だから数式的には、1*(1/6*6*6)=1/216となります。＊

後者の問題の難しいところは、一回目の三つの目によって、二回目にその同じ三つの目を引き当てる確率が変わってくるから場合分けして考えないといけない、というところ

にあります。
以後、三つの目が１と３と５だったばあいに（1,3,5）と表記することにします。(3,1,5)なども同じ意味だと考えてください。
またそうなる確率をP(1,3,5)と表記することにします。
たとえば、P（1,3,4）とP(1,1,1)が同じ値だと思いますか。直感的にP(1,1,1)の方が小さい、起こりにくそうだと分かるでしょう。つまり、一回目の目が（1,1,1）だった場合、二回目に同じ目を引き当てるのは（1,3,4）よりも困難だということです。＊＊
そんな感じでああでもないこうでもないと考えていきますと、一回目の目に同じ目がいくつあるかによって、確率が変わってくるのではという推測ができるようになります。

以後一回目の目と二回目の目が一致する確率を、一回目の目のうち同じ目がいくつあるかという観点から場合分けして考えます。注意せねばならないのは、サイコロの選び方と目の選び方両方考えなければならないということです。

(1)一回目の目のうち、同じ目が三つのとき、
一般的に(a,a,a)と書けます。aは６通りあるので、
一回目に三つとも同じ目を出す確率は、6/6*6*6=1/36です。二回目は、たとえば一回目に出した目が(1,1,1)だとすると、これと全く同じものを出さないといけないので、aが６通りあるという先ほどの考慮を取り除いて、
1/6*6*6=1/216です。両者を掛け合わせると、1/6^5となります。
こんな感じで進めていきます。

(2)一回目の目のうち、同じ目が二つのとき、
一般的に(a,a,b)と書けます。ひとつだけbという異なる目を出す仲間はずれのサイコロの選び方は、３通り、
aは６通り、bはaで選んだものを除く５通りあるので、
一回目に二つ同じ目を出す確率は、(3*6*5)/(6*6*6)=15/36です。二回目はやっぱり一回目と全く同じ目を出さないといけないので、たとえば、一回目に出した目が、(1,1,4)だったとして、これと同じものを出すことを考えます。
この目とサイコロとの対応は3通りあることが分かります。(∵どのサイコロが仲間はずれの目を出すか。つまり3通り)
すなわち二回目に一回目に出した目を出す確率は、3/(6*6*6)=3/216です。一回目の結果と掛け合わせると、45/6^5となります。

(3)一回目の目のうち、重複する目がないとき、
一般的に(a,b,c)と書けます。aは６通り、bは５通り、cは４通りなので、一回目にそのような目を出す確率は、
(6*5*4)/(6*6*6)=20/36です。一回目例えば(1,3,4)の目だったとして、これと同じものを出すことを考えます。
この目とサイコロとの対応は6通りあることが分かります。(∵一番大きな目をどのサイコロで出すか、二番目に大きな目をどのサイコロで出すか、残りものはそのまま対応。つまり、3*2=6)
すなわち二回目に一回目に出した目を出す確率は、6/(6*6*6)=6/216です。一回目の結果と掛け合わせると、120/6^5となります。

あとは、足し算です。
(1+45+120)/(6^5)=83/3888となって、質問者様の提示された解答と一致しました。

おそらく頭を悩ませるのは、二回目の目の確率が、一回目に出した目をもう一度出す確率とは異なるというところにあります。単純に一回目の確率を二乗してしまってはいけ

ないということです。（余談ですが、私は初め誤ってこの方法で解いてしまい、313/432というありえない高確率を得ました）
二回目の確率はそれぞれ順に、1/216,3/216,6/216ですが、この確率の差は、＊＊で触れた通り、一回目の目によって生じる、「二回目に目が一致する確率」の差だということ

です。この差こそが、さいころを区別できるか否かの違いによるものだと理解できます。この差がなければ、＊で触れたとおり、まとめて計算できるわけですから。

分かりにくい説明だと思いますが、理解の助けになれば幸いです。

お礼

仰るとおり、考えたことを質問に書くべきでした。反省しております。
初めての質問ということもあり、少しテレてしまいまして…。
自分は先に出た目の場合の数を求めてからというようなアプローチだったんですが、
場合分け後の処理で混乱してしまいました。
懇切丁寧に教えて頂き、おかげさまで疑問もとけました。
本当にありがとうございました。

回答No.2

mistery200

さいころが区別できるときは、
１／６×１／６×１／６＝１／２１６

サイコロが区別できないとき
１．３つとも異なる数字のとき
２．３つが同じ数字のとき
３．２つが同じ数字のとき
を区別して補正します。
１．３つとも異なる数字のとき
順列の数は６Ｎ３＝６×５×４＝１２０通り
このときは、サイコロが区別できないときの６倍の確率です。
サイコロの順序が６通りだからです。
２．３つが同じ数字のとき
組み合わせの数は６通り
このときは、サイコロが区別できないときの１倍の確率です。
サイコロの順序が１通りだからです。
３．２つが同じ数字のとき
６×６×６－１２０－６＝９０通り
このときは、サイコロが区別できないときの３倍の確率です。
サイコロの順序が３通りです。

確率は、１／２１６×｛（１２０×６＋６×１＋９０×３）／２１６｝
＝９９６／（２１６×２１６）
＝８３／３８８８です。

お礼

テストの際には、このような簡潔で美しい回答を目指したいと思います。
おかげさまで、わからなかった所が良くわかりました。
ありがとうございました。