負の数について

質問

正×正＝正
負×負＝正
であるとすると、数直線における左右対称性が失われることについて
納得のいく説明のできる方、教えて下さい。
（上記の正と負を入れ替えると同じ式にならないのはいいのか？）

私の考えでは、あくまで量というものは0より少ない値はないと思います。
マイナスとはベクトルであり、量と方向の二つの性質を持ったものだと思います。
したがって、負×正の計算は、ベクトル×スカラーであり、これはいいと思うのですが、負×負＝という計算はベクトル同士の掛け算ということになり、それ自体が不可能だと思います。
ですが、負×負＝正の有効性は実社会では実のあるものとなっています。
このことは、どのように理解をすれば良いのでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.3

dedenden · ベストアンサー

負の数の意味を現実社会の中でどのように解釈しているかを考えると
はっきりするのではないでしょうか？以下、我流の説明です。

例えば、a個のみかんからb個のみかんを除く操作を、通常は、「a-b」
と書きます。これに対し、同じ操作を「a+(-b)」とも書けると認める
ことにします。これにより、負の意味が定義できます。すなわち、
「あるものを取り除く量」を負の数と解釈してもよいと認めることに
します。

上記の解釈に基づき、次に掛け算を考えてみます。まず、以下の関
係式を考えます。

(a-b)*(c-d)=(a+(-b))*(c+(-d))
=a*c+a*(-d)+(-b)*c+(-b)*(-d)

ここで、a=2,b=c=1,d=0 とすると、1*1=2*1+2*(-0)+(-1)*1+(-1)*0
となります。いま、正×正＝正が正しいと仮定するとともに、-0=0,
0*x=0 などと仮定します、すると, 上式より、-1=(-1)*1 がでてき
ます。これで正×負＝負が示唆されます。

次に、a=c=2, b=d=1 とすると, 1*1=2*2+2*(-1)+(-1)*2+(-1)*(-1)
となります。ここで、正×負＝負が正しいとすると、1=(-1)*(-1)
がでてきます。これで、負×負＝正が示唆されます。

上記のように負の数を「あるものを取り除く量」をあらわすものと
解釈すると、自然に負×負＝正でないとつじつまが合わないことに
なります。

あとは、上記の規則を使ってつじつまの合う四則演算等が作れるかを
順に検証していくと、整数の体系ができてくるのではないでしょうか？

お礼

ご回答ありがとうございます。
上記の式についてですが、めんどうくさい奴だと言われてしまうかもしませんが、正×負＝負であると示唆する式の中に、既に正×負という掛け算が含まれてしまっております。この式において2*(-1)+(-1)*2は打ち消しあって0になると言い切れるでしょうか？
ここを単純にやり過ごしては、私の質問の意味がなくなってしまいます。
質問文に描いたとおり、正と負の数は性質が異なる数であり、数直線上において左右対称性が敗れています。
ですから、必ずしも正×負と負×正が同義であるとは言い切れないように思うのです。
詳しく説明します。
負の数＝「あるものを取り除く量」であるとするなら
正の数＝「あるものを足し合わせる量」ではないでしょうか？（ここがわからない曖昧な部分なのですが）
「みかん２個を足し合わせる量」×「みかん一個を取り除く量」というのは既に理解が難しい概念になっています。例えば、これを絵に描いて図で示すことができるでしょうか？
私の頭の中ではやっぱりベクトルの掛け算になってしまいます。つまり計算そのものが不可能。
「みかん１個を取り除く量」を２倍する→これなら理解できます。
でも、この計算における２は２倍の２ではなく、あくまで「みかんが２個あること」の２であったはず。
ベクトルとスカラーは区別して考えなければなりません。
このように、そもそも数学を適応する対象が本当に「負の数を使ってもいい対象なのか？」という疑問が残ります。
今の科学はこのような数学の土台の上に立っており、数学の予言するとおり実社会は動いているようです。それは否定しません。ですが、このような数学に世界が整合性を持っていること自体、とても驚くべきことではないでしょうか？

回答No.12

dedenden

お礼のメールが届いたので、久しぶりにここをのぞいてみました。
最後に、もう一度、やや直感的な説明を試みてみたいと思います。

まず、正の数、負の数と考えるのではなくて、正の符号、負の符号が、
ある量にかかっていると考えることにします。また、二つの数の乗算
は、各量の乗算と各符号の乗算によって定義するとします。

まず、各量の乗算は、普通に正の数の掛け算になります。これによって、
量の乗算は、（たぶん）常に直感にあっているといえるでしょう。

これに対して各符号の乗算はどうなるか？これがここでの問題です。
ひとつの定義は、負の符号は、別の符号と乗算すると、その符号を反
転させ、正の符号は、何もしないというものです。簡単な定義ですが、
これで、一応、正負の数の積は定義できます。（0の定義は別で必要
ですが。。。）

では、上記は直感で受け入れられるか？
これには、まず、正負の符号が何かを直感的に理解する必要があります。
これは、これまでに何度も述べてきているように、正の符号は、何かを
加えること、負の符号は、何かを取り除くことになるでしょう。これを
もとに正負の符号の乗算を書き出すと以下になります。

正×正＝（加えること）×（加えること）＝（加えること）
正×負＝（加えること）×（取り除くこと）＝（取り除くこと）
正×負＝（取り除くこと）×（加えること）＝（取り除くこと）
負×負＝（取り除くこと）×（取り除くこと）＝（加えること）

なんだか、わかるようなわからないような話しです。やはり、
負×負は、そのままでは、やや直感を飛び越えている気がします。
これを「みかんと引越」の例で理解するというのが、私にできる
精一杯の直感的解釈です。もしくは、会社の財務状況の例を考え
てみましょうか。。。「昨年度収支が-100万円の赤字だった部署
のうち、今年度は10部署が赤字でなくなった（収支が0になった）。
その他は変更なし。その結果(-100万円)×（-10部署)の分の収支
が改善した。」

結局、いままでの議論の再掲になりました。少しは理解の助けに
なりましたでしょうか？

お礼

わかった！

ついに得心がいきましたよ。

色々諦めたようなことも書きましたが、俄然ここにきて、スッキリと色々なことが見えるようになりました。

わかりましたよ、負の数が。

抽象的なことを述べますが、人間には、本能的な世界の捉え方というものがあり、ある確信を持つまでは容易に異なる事象が本質において同一かそうでないかを判断しません。私は特に慎重です。しかし、経験を通して、同一であるかそうでないかの境界線を頭の中に築いていくようです。本日、経験が直感を勝りました。
理系の分野で活躍されている方々は、ここのところが実にスムーズなんですね。その立場に立って考えると、マイナスの定義は何一つ不思議なことはありません。足し算も乗法もです。当たり前のことを言っているだけです。
逆にあいまいさを残したまま物事を考える方法もあります。この場合、先に結論を得て、それをどう説明するかという方向に思考が進みます。これが直感だと思います。直感が常に正しいとは限らないということは、コペルニクス以来、歴史が証明しています。ですが、未知の事象を理解するのに直感は欠かせません。
人として、どちらに偏るかは脳の中の何かのパラメータによるのだと思います。心理学の話になってしまいますが。
しかし、両方の人格を私の脳の中で丹念にシミュレートしてみると、平行して相反する感覚の所在を受け止めることができます。

私はついに、「わからない私」と「わかる私」の両方のシミュレーションに成功しました。どっちの言い分もわかる。
わかり始めると俄然面白いですね。

今朝は集合論のことを少し勉強していたのですが、集合論では補集合を現すのにマイナスを使わずに、文字の上のバーで表記しますね。これも反転させる意味で使っているのに、なぜ新しい記号が出てくるのか？と思う人もいます。でも、これでいいのです。
わかるようになれば、数学は面白い。

ようやく未分化で能率の悪かった自分から、脱皮できたような気がします。随分時間がかかってしまいました。そのことは情けなく感じます。
ですが、これからは鋭意勉学に励みたいと思います。

ご教授ありがとうございました。

回答No.11

jmh

> つまり、現実の裏の世界とは、みかんで例えるなら、
> 負は「みかんを失った空間の穴」を表していると考えられます。
> すると表の世界と同じ式の関係が成立することになります。
> それならいいじゃないか、という意見もあるのでしょうが、
> 私の疑問は、この世界はなぜそういう世界なのかということなのです。
>
「みかんを失った空間の穴」などというモノは存在しません。つまり、「すると表の世界と同じ式の関係が成立することになります」ではなくって、成立するように「みかんを失った空間の穴」を想像したんですよね？

正×正＝正、正×負＝負、負×正＝正、負×負＝負だと、
　（正×負）×正＝負×負＝負
　正×（負×正）＝正×正＝正
のように、結合的でなくなるから代数的に不便だと思うんです。「あくまで量というものは０より少ない値はない」のであれば、普通のルールでは計算が便利な（結合法則や分配法則などが壊れないような）ルールが採用されているということになります。

> 数直線における左右対称性が失われる…
>
「失われる」ってことは、そもそも乗法は数直線で左右対称性だったのでしょうか（加法はｘ－ｙとｘ＋ｙは数直線上ではｘを挟んで左右対象でした）。

> マイナスとはベクトルであり、量と方向の二つの性質を…
>
それは、暗黙？にプラスもベクトルとして考えるからマイナスがプラスの「向き」の逆方向きに見えるんですよね？
#7 の方も触れられていますが、「（－１）倍するという操作」を「（複素数の）極形式表示で１８０度回転」、「ベクトルで向きを逆転」などと考えると分かりやすいんじゃないかと思います。

お礼

ご回答ありがとうございます。
お礼が遅くなってしまい、申し訳ありませんでした。

ご指摘は全て、私の「頭の中でのイメージ」を正しい方向へ向けるため指摘して頂いたものと捉えておりますが、仮に「（複素数の）極形式表示で１８０度回転」で考えても、やはり不思議は残るのです。ただし、「頭の中のイメージ」では。
乗法についても、そもそも左右対称にならないことは認めた上で、やっぱりそのこと自体が不思議だと感じるのです。あくまでイメージとして。

そして、「ではなぜ、そうなるのか」という論理的な必然性は私も今ではほぼ全てを認めております。（厳密な検証はとても難しいです。）現実の数の振る舞いを論理的にわりきることは可能です。ですから、質問に対しての結論は既に得られたと感じております。
数々のご指摘、本当にありがとうございました。
同じ質問を私が投げかけられたら、やっぱり同じように私も返答するだろうと思います。

私は今では、直感と理論と現実（体感できる）の相関関係について考えています。
私達に与えられた物差しです。
いったい、どんな物差しを使って、我々は考えているのか？
暫定的に科学の理論が世界を数式で表現していく一方で、人間の物差しについて改めて考えるのは、多少の価値はあるのではないかと感じています。もしかしたら、理論の限界は、その物差しに起因しているかも知れないのですから。例えば、物理学における特異点の問題です。「質量が無限の点」をイメージすることはできません。論理的にも困難さが付きまといます。実験的には、完全に観察されていません。ブラックホールの証拠は見つかっていますが。こういったことは、人間の思考法をよく理解することで新しい道が開けるのではないでしょうか？推測ですが…

話が逸れて申し訳ありません。

なお、
＞（正×負）×正＝負×負＝負
につきましては、私の闇乗法では正となります。ですが、交換法則が成り立たないという意味での示唆は、十分伝わっておりますので、改めて言及して頂くには及びません。

毎度長文で失礼致しました。
ありがとうございました。

回答No.10

dedenden

実生活の問題を扱うときには、正とは何か負とは何かを定義しないと、
やはり意味のある結果が得られないのではないでしょうか？

みかんをかぞえるときに、奇数番目は+1個, 偶数番目は-1個と数えて
も意味はありません。買ってきたみかんを数えるときは、1, 2, 3 …
食べてなくなったみかんを数えるときは -1, -2, -3 …です。面積の
総和も同じでしょう。

お礼

度々、私の疑問に付き合って頂き、ありがとうございました。
また、お礼が遅くなってしまい、大変申し訳ありません。

色々と考えたのですが、今は人間の脳の構造に興味を持つようになりました。
正負の問題については、私の中ではある程度決着がつきました。つまり、それについて自分が考えそうなことは、あらかた考えつくしたという気がするのです。そのうえで、今改めて疑問に思うのは、なぜ私が「負×負＝負」にならないのはおかしいと感じたのか？という疑問なのです。
（もともとの質問から離れてしまい申し訳ありません）
私が思った疑問と言うのは、小学生の方がより共感を持って感じてもらえることなのです。それは人間の素朴な心理とも言えるでしょう。

人が何かを推測するときの方法というのは、進化の過程で獲得してきたものでしょう。私も生物としての構造を持った存在であり、進化によって獲得したものが私の全てです。なので、これまで必要とされなかった事柄については、それを感じる構造そのものが存在しないのだと思います。

私の疑問は、むしろ人類のかつての思考法（直感）では宇宙にロケットが飛ばせない、という嘆きに近いものだったのかも知れません。
科学の進歩に、人の直感はついていけません。
子供時代に感じた、そのような感傷を今掘り起こしているのでしょう。

ですが、一方で自分の直感の不完全さを知ることは、教育においても重要な気がします。子供たちの数学離れには、少なくともこのことが関係しているように思います。

もうあと、しばらく様子を見て、この質問は締め切りにしようと思います。
色々と勉強させて頂き、ありがとうございました。

回答No.9

Segenswind

「数学は“言葉”である。
　したがって、用いる言葉のひとつ一つの意味が、
　確実に、しかも唯一つに定義されないと、
　他者との“会話”は成り立たない」
とは、数学者 吉田武先生の言葉です。

さて、いつの間にかいろいろな種類の問題が絡み合ってしまっているようなので、
一つずつ確かめていきたいと思います。

まず、現実世界に即した計算手段としての、算術的な考え方では、
負数×負数は、当然、正数になります。
というのも、かけられる数としてのマイナスは、仮にプラスを資産とすれば、いわば負債を表しており、
かける数としての負数は、「×(+n)」が「n 回足す」ことですから、
「×(-n)」は、「-n 回足す」、すなわち「n 回引く（消し去る）」ことを表します。
つまり、(-3000)×(-3) とは、「3000円の借金を３回棒引きにする」という意味になり、
すなわち +9000円ということになります。

では、今度はもう少し数学的な観点から考えてみます。
まず、負の数を代数的に定義しますと、
　「任意の正数 p について p+x = 0 が成り立つとき、
　　x を -p と書き、x は負の数であるという」
とできます。

次に演算を定義しますが、加減法、および正数同士の乗法については、
今回は特に問題ないと思われるので省略します。
正数、負数を含めた整数の演算については、汎用性を保つために、
正数の演算と同様の性質をもつものと定義します。例えば、
　「任意の整数 a, b, c について、
　　　１）　a*1 = 1*a = a
　　　２）　a*0 = 0*a = 0
　　　３）　a*b = b*a
　　　４）　a*(b+c) = a*b+a*c , (b+c)*a = b*a+c*a
　　の性質を満たす」
となります。
逆にいうと、最低でもこうでなければ正負の入り混じった計算に支障をきたすということです。
例えば、未知数の正負が不明の場合、計算不能となる場合が容易に生じてしまいます。
ただし、ここではまだ「積の正負については判断していない」ということに注意してください。　

さて、ここから本題ですが、正×正＝正は当然として、負×正および正×負を考えます。
任意の負数 n について、
　　１）より
　　　　n*1 = n < 0
　　n*k < 0 と仮定したとき、１）と４）より
　　　　n*(k+1) = n*k+n*1 = n*k+n <0　(∵ n*k < 0 , n<0)
　　上２式と数学的帰納法より、負×正＝負
　　また、３）より、正×負＝負

最後に負×負ですが、任意の正数 p および負数 -p について考えたとき、
　　定義より p+(-p) = 0
　　両辺に左から任意の負数 n をかけると、
　　　　n*(p+(-p)) = n*0
　　２）と４）より
　　　　n*p+n*(-p) = 0
　　n*p は負×正より負数、ゆえに n*(-p) は負数を加えて 0 となる数、すなわち正数でなければならない。
　　∴ 負×負＝正

（矛盾がないことまではここでは示せませんが、とりあえず導出はできました）

すでに指摘がありますが、数学とは、ある体系に基づいたとき数がどのようなふるまいをするか、
ということについて研究する学問です。
つまり、言葉の定義を変えればどうとでも世界が変わるわけで、
仰るような「闇乗法」「闇積」のようなものを考えることも可能です。
これを基に研究をしていけば、あるいは新しい世界が開けるのかもしれませんが、
さしあたっては汎用性が低い、要するに使いどころが少ないため、普通考慮されない、ということです。

お礼

ご回答ありがとうございます。
お礼が遅くなってしまい、申し訳ございません。

Segenswind様のおっしゃる内容に疑問をはさむ余地はございません。
ありがとうございました。

数学はまず公理がありき。このことは、理解できたと思います。

私はそして次のことを考えました。
私が考える数学そのものへのあるべき立場です。もし、この考えが認められれば、ある程度私の疑問は解決されたと思います。

公理は無限のパターンがあれど、この世界と適合する公理は限定される。
（そうでなければ、世界の秩序が崩壊してしまうので。宇宙も人間も存在できない）

この世界に一つの公理が定まると、そこから派生する定理群は全てこの世界に適応されることになるだろう。（これは直感として）

だが、人類の側からすれば、実際には始めに幾つかの定理の発見があり、そこから公理を推測している。人類は逆をたどっているのだ。現実の世界は「結果」であり、そこから公理を推測している。

負数の振る舞いもそうであった。

ところで、人の直感として全ての定理は唯一のシンプルな公理に根ざしていると考えたいものだが、実際には公理は「場合による」と捉えるべきらしい。

例１、デカルト座標における第二象限、第四象限の面積を求める「場合」は負×正＝正であると言える。

例２、ユークリッド幾何学における平行線の公理は曲面における幾何学を考える「場合」には成り立たない。

したがって、どのような「場合」にどの公理が適応されるかは、その都度調べなければならない。
つまり、ある一つの公理を見つけたからといって、その先の全ての現象が単純に公理が導く通りに動いていると思うのは間違いであり、いつどこで「ただし、この場合には…」という条件が現れるとも限らないということを、常に心得ていなければならない。

こうして、ようやく私は数学を学ぶことができる。
以上です。

回りくどく、解りづらい表現で申し訳ありません。
言わんとするところが伝われば良いのですが…

回答No.8

dedenden

No3,No4 です。私も負の数の意味を考え直すよい機会になりました。
実は、さらに少し補足したくなってしまいました。以下に、余計な
議論を追加すること、お許しください。

私も、量とは、もともと正の値しかとらないので、正の数が先に存在
したのだろうと思います。これに対し、負の数を発見したとき、実は、
同時に正の数も再発見されたのではないかと思います。すなわち、負
の数は、ある「量」に(-1)という符号をつけたもの、それに対して正
の数は、ある「量」に(+1)という符号をつけたものという風にです。
いいかえると、負の数の発見は、正と負の符号の発見であり、数字に
は、プラス方向とマイナス方向の二つがあるということの発見だった
のだと思います。そういう意味で、質問者さんが負の数をベクトルと
感じたのは、あながち見当はずれでもないし、方向が違うだけで、演
算に対称性がないのを不思議に思うのもわかるような気がします。

ちなみに、「負の数字」と同様に「負の面積」も考えることは難しく
ないように思います。自分の土地の一部を売却したら、これは「負の
面積」です。

それから、私は日ごろからフーリエ解析に慣れ親しんでいるおかげで、
虚数は、実世界を表す数字として実感することが出来ます。

お礼

改めましてご回答ありがとうございます。
私も「負の面積」は数学の一つの領域として有効だと思いました。
同じ音を重ねると無音になるのは、音の幅が+と-で打ち消しあうからですが、「幅」とはまさに面積に他なりませんから。これは有益です。

ところで、「面積問題」について、もう少し掘り下げてよろしいでしょうか？

デカルト座標に正方形を描きます。
A(-2,2),B(2,2)
D(-2,-2),C(2,-2)
というように頂点を置いて線で結びます。
縦と横の長さを掛けて面積Ｓを求めます。
回りくどいですが、この場合ざっくりと
AB*AD
AB*BC
DC*AD
DC*BC
の４パターンの方法を考えました。

このうちのAB*ADに絞って考えると
AB=2-(-2)もしくは(-2)-2
AD=2-(-2)もしくは(-2)-2
となり、辺の長さにそれぞれに２パターンの答えが得られます。
そうすると、
4*4=16
(-4)*4=-16
4*(-4)=-16
(-4)*(-4)=16
と合計４パターンの答えが出てきます。
他の場合でも同じように４パターン出てくると考えられますので
全部で１６パターンの答えが出てきます。

結局は答えとして16と（-16）しかないのですが、Ｓを求める方法として、どれが最も妥当であったか、優劣をつけることはできません。
ただし絶対値は必ず16になるわけですから、これが意味のある値であるのは間違いありません。
ですから、全ての演算をまとめて一つの式として表すために
|AB|*|AD|=16
とやるわけです。これは人為的に簡素化したのに他なりません。

また下に続きます。すみません。

補足

（間違えました。お礼を先にお読み下さい…失礼しました）
ところで！
今度は第1象限～第4象限まで、個別にs1～s4を求めて、後で足し合わせます。これでも同じ面積Ｓに辿り着くはずです。
正方形をx軸とy軸で４分割したと思ってください。
それぞれの面積s1～ｓ4は、±4とどちらの符号も持ちうることになります。
これを足し合わせると、極端な場合は組み合わせの中にＳ=0となるものも出てきます。
また、分割の仕方は他にも無限の方法が考えられますので、これを一般化すると、やり方次第でＳは
-16≦Ｓ≦16
の範囲で自由に値をとることができることになってしまいます。
厳密に言えば、この範囲こそ、本当の解答ではないでしょうか？

なぜ、このようになってしまうのか？
この原因はマイナスの符号の掛け算の処理がそのような働きをするからです。
では、どうすればちゃんと現実の唯一のＳである16という値を求められるかと考えると、これは簡単です。

正×正＝正
正×負＝正
負×正＝正
負×負＝正

とルールを変えればいいのです。
「絶対値」とは、ルールの呼び方を変えているだけで、演算の中身は結局こういうことです。そして、ここではこのルールの方が現実とマッチしているのです。
で、このルールを見てみると、やっぱりベクトル同士を無理矢理掛け合わせて、スカラーを求めているのではないか？という雰囲気を感じてしまうのです。
私が負をベクトルと考えた一因がここにあります。

ここで、私が述べたいのは、現実とは完全に数学と整合性を持っているわけではなく、どちらかというと、数学が現実から漏れ出ているということです。有益でない数学も数学として常に存在するのです。
とすると、この世の中は人間に都合の良いように数学と整合性を持っているように感じられます。誠に不思議です。

フーリエ解析につきましては、関数の直交を使うらしいというぐらいまでしか私は理解しておりません。また改めて勉強してみたいと思っている分野です。すみません…

ベクトルと符号を同じに考えることができないのは明らかですが、符合の働きはまだ私の中でまだ未知の可能性を残しています。

回答No.7

noname#194289

虚数単位ｉを2回かけるとー１となり、四回かけると１となりますから、両者が対称ということはないのではないでしょうか。

お礼

これはすごい指摘ですね。
確かに-1だけが虚数を持つわけです。

ちなみに
i=i
i*i=-1
i*i*i=-i
i*i*i*i=1
i*i*i*i*i=i
と続いて、５回掛けると元に戻るので対称というより循環しちゃってますね。これはこれで美しいですけど。

歴史的経緯からすると、まず-1（つまり負の数）の発見があって、そののち虚数が発見されるわけです。
もちろん、人間が発見する前から虚数はあったわけですけど、それでもまず負の数があって初めて虚数が生まれるわけです。
正の数からは虚数は生まれないんですから。

これは不思議ですね。

回答No.6

jmh

> （上記の正と負を入れ替えると同じ式にならないのはいいのか？）
>
この質問は、「“正×正＝正、負×負＝負”でないのはどうして？」ではなくて、「“正×正＝正、負×負＝負”、“正×正＝負、負×負＝正”、“負×正＝負、正×負＝正”、“負×正＝正、正×負＝負”でないのはどうして？」という意味ですか？

お礼

公式ルールについては、私の調べた本では、懐疑的な人は19世紀頃まではけっこういたみたいです。現代では、ほんのわずかの人だけが懐疑的です。今の世界は確実に公式ルールの通りに動いてますから。私も公式ルールの数学を専ら勉強しています。

ところで大胆にも、この公式ルールは間違っていると仮定して、別のルールを設定してみることにします。
その場合、考えられる掛け算の組み合わせパターンとしては
4×2＝8パターン存在することになります。
公式ルールは、このうちの一つに属します。
では闇のルールとして別の場合、
正×正＝正
正×負＝負
負×正＝正
負×負＝負
を考えてみます。
（これこそ私の考える理想的な対称世界なのですが…）
まず、闇ルールでは四則演算の中で交換法則が使えなくなっている点に注目です。
そうすると、みかんと家の例えで考えた場合
(a-b)*(c-d)=(a+(-b))*(c+(-d))
= ?
と、ここで計算が止まってしまいます。
acとcaは良いとしてa(-d)と(-d)aでは計算後の符号が逆ですから、計算の順序を決めなければなりません。ですが、どちらが先であるべきかという客観的条件は見つけられません。唯一の答えは生まれず、組み合わせの数だけ答えが存在することになってしまいます。
ちなみに、この場合
ac-ad-bc-bd
ac+ad-bc-bd
ac+ad+bc-bd
ac+ad+bc+bd
の四つが答えです。
世界が等しく４つに分かれてしまいました！
こんな世界では人間は生きていけません。
ただ、一つ言えることは、闇ルールの数学も数学としてちゃんと成立するということです。

なぜこの世界は
正×正＝正
負×負＝負
とならないのでしょうか？

補足

ご質問にお答えします。
正×正＝正ならば
負×負＝負にならないのはなぜか？ということです。
負の数は「方向を裏返しただけの正の数」であるはずです。
正の側で起きたことは、負の側でも同じように起きなくては裏表の世界が等しいことにならない。
ところが、現実の世界は次のようになっております。

正×正＝正
正×負＝負
負×正＝負
負×負＝正
という現代数学の公式ルールです。
これを機械的に正と負を入れ替えて書くと
負×負＝負
負×正＝正
正×負＝正
正×正＝負
となります。
つまり、現実の裏の世界とは、みかんで例えるなら、負は「みかんを失った空間の穴」を表していると考えられます。すると表の世界と同じ式の関係が成立することになります。それならいいじゃないか、という意見もあるのでしょうが、私の疑問は、この世界はなぜそういう世界なのかということなのです。
言い換えれば正×正＝正と負×負＝負が両立する世界はなぜ存在しえないのかということです。
表の世界を裏返した世界が同じでも、やっぱり正と負は明らかに別物なのです。
どちらか一方を正と決めた瞬間、正の数と負の数は等価値ではなくなるのです。負の数は負の数として働き、正とは異なる働きをするのです。
では負の数とはいったい何なのでしょうか？

そもそもの、負の数は「方向を裏返しただけの正の数」という私の解釈が負の説明として正確でないとしか考えられません。
今は、負の数を説明するのに、より的確な言葉を見つけることができません。
とにかく、そういうものらしい、としか言えないのです。

書ききれないので、下に続きます。すみません。

回答No.5

Ishiwara

私は、とても本質的で、きわめて興味あるご質問だと思いますよ。
まず副委員長を２人選出してから委員長を１人選出する団体があるとします。
(1) 副委員長が同性のときは、男子が委員長になる。
(2) 副委員長が異性のときは、女子が委員長になる。
このルールの場合、男子・女子は完全に対称に扱われているとは言えません。もしかして、副委員長が互いに異性のほうが、意見の一致がむずかしく、それだけ委員長の苦労が大きいかもしれません。
しかし、
(1) 副委員長が同性のときは、女子が委員長になる。
(2) 副委員長が異性のときは、男子が委員長になる。
とするルールもあります。どちらを選ぶかを決める前には「完全対称」だと言えます。しかし、決めた後では対称性は不完全なものと鳴ります。決める時点で、正数の使用実績が圧倒的に多かったので、現在の姿になったものと思います。

お礼

ご回答ありがとうございます。
とても興味深い示唆を感じました。
確かに日常生活で使う数と言えば、正の数が圧倒的に多いわけですが、これは果たして偶然なのでしょうか？？
私たちの生活している世界が、そういう世界に属しているということなのでしょうか？
これまでの思索をたどると、どうもそういうことらしいと私個人は思うのですが、自信があるわけではありません…

もしそうだとすると、他に「虚数空間」や「虚数時間」というものも確立としては対等にあるという気がします。ただし、この「ある」という意味は、あくまで概念としてあるのか、現象として起きていることなのか、何とも言えません。
今年ヨーロッパで動く予定の、新型巨大加速器が新しい示唆を与えてくれるかもしれません。なんとももどかしいです。

回答No.4

dedenden

数学は数の体系を表した学問であって、必ずしも現実世界の現象と対応がとれると
いうものではありませんが、現実世界と一致していれば、実生活のうえで応用でき
るという都合の良い性質を持っている場合があります。負の数はまさにコレにあた
ります。いいかえると、負の数の意味を実生活の中で理解することは、実生活の中
でその定義がどう都合が良いかを理解すればよいということだと私は考えます。

では、負の数が現実の世界で何を意味するか？これは、先の回答で書いたように、
「あるものを取り除く量」を表している場合が多いように思います。（もちろん、
それ以外の場合もあるかもしれません。）これに対する正の数は「あるものの量」
ということになるでしょう。例えば、以下の例を考えます。

・ある町にa件の家族が住んでいる。
・すべての家族にはじめc個のみかんが配られたが、各家族でそのうちd個は
　消費した。
・その時点でa件のうち、b件の家族が町の外にみかんと一緒に引っ越した。
・はじめに配られたみかんのうち、町に残ったのは何個？

これは先の回答で例に挙げた計算式に対応する現実に近い問題で、(a-b)*(c-d) 個
が答えです。この問題は、正の数の四則演算のみで計算できますが、「正の数を引
く」という操作を「負の数を足す」という操作で読み換えて計算しようとすると、
正×負や負×負を定義しなければならなくなります。これをどう定義するかによっ
て、様々な数学体系ができる可能性がありますが、その中で、できれば先の正の数
の四則演算のみで計算した場合と同じ結果が出てくるもののほうが、実生活では都
合がよいことになります。

では、どう定義すれば都合がよいか？それの一部を先の回答で示したつもりです。
（すべての場合につじつまがあっていることを証明するのは容易ではありません。
数学の教科書でも読んでください。）その結果、負×負＝正はつじつまあわせのた
めに、機械的に出てくる公式と考えたほうがよいでしょう。コレ自体に現実世界の
意味を持たせることも可能ですが（例えば「引くものの数を少なくすると、引いた
あとで足すのと同じ」）、それよりは、都合の良い機械的操作と考えたほうが無理
がないと思います。その機械操作で計算上問題ないということは、いうまでもなく
数学的に保証されています。

なお、質問者さんのもうひとつの反論は、私の回答を読み直していただけたら、お
のずと問題は解決するものと思います。つまり、先の回答で、正しい説明になっ
ていると私は思っています。（そもそも、2*(-1)+(-1)*2は打ち消して0になるので
はなくて、そのまま計算したら、-4になります。）

あと、数直線上の左右対称性が敗れるかどうかを質問者さんはこだわっていらっしゃ
いますが、左右対称の意味が不明瞭です。そもそも整数の定義に左右対称などとい
う概念はないのではないでしょうか？（正の数と負の数なんだから、全然、対称に
は見えませんし。。。）

ちなみに、正の数と負の数が一直線上にならんでいるという意味は、例えば、中間
テストの点から期末テストの差分と考えたらわかりやすいかもしれませんね。増え
たら正、減ったら負、その値は、まぎれもなく直線上に乗っています。

お礼

改めましてご回答ありがとうございます。
2*(-1)+(-1)*2につきましてはご指摘の通り、私が勘違いをしておりました。失礼致しました。
どちらにしろ、正×負について、まだ気持ちの上で抵抗があったということなのですが、この反論に対しては、家とみかんの例のおかげで、おっしゃることが非常によくわかりました。
また、過去の数学者がなぜ負×負＝正を支持したのかもよくわかった気がします。
高校時代は機械的な計算を憶えるので精一杯で、ここの部分をじっくり考える余裕がありませんでした。ずっと悶々としていたんですよ…＾＾；
やっぱり学校では人類の叡智を学んでいたのですね！

私の混乱の原因は、負の数をベクトルとして捉えようとした切り口にあったものと思います。（それが違うということも感じていましたが）
これまでのご回答を通して、負の数は独立した概念だと、境界線がはっきりしました。まだ完全に理解できたとは言えませんが…
例えば、デカルト座標における２点間の距離は負の数も含め、便利なことに四則演算がそのまま適応できますが、面積となると絶対値を取らなければなりません。-2*2＝-4（ｃm2）という計算も可能ですが、目に見える面積は明らかに絶対値の4（ｃm2）です。これも負の掛け算に関わる問題の深さを表している一例ではないでしょうか？

それに、次に不思議なのは虚数の存在ですね。
負の数があるということは虚数もあるということです。これは２次方程式を解くと自然と導かれます。これもやっぱり掛け算ですね。
ホーキング博士の宇宙論では「虚数時間」が出てきますが、本当にこの宇宙が理論と整合性があるというなら、「虚数時間」もあるかも知れません。これはまだわかりませんが、もしそうだとすると本当に神秘的な気持ちになります。

数学はどこまで適応範囲を広げられるのでしょうか？
人の感質（クオリア）は今のところ数学を適応できない代表格という気がします。
話がそれて申し訳ありません。
負の数について知りたかったのは、こういう疑問に即してのものだったのです…

回答No.2

Ichitsubo

>正×正＝正
>負×負＝正
>であるとすると、
「であるとすると」という問題ではなく、
正×正＝正
負×負＝正
です。
>数直線における左右対称性が失われることについて
うしなわれますか？
>上記の正と負を入れ替えると同じ式にならないのはいいのか？
それは暴論です。
1×1＝1が成り立つからと言って2×2＝2を成り立たせようというのと同じです。

>マイナスとはベクトルであり、量と方向の二つの性質を持ったものだと思います。
一次元ベクトルと考えることも可能ですが、それは結局スカラーです。
>負×負＝という計算はベクトル同士の掛け算ということになり、それ自体が不可能だと思います
内積や外積などがあります。

>負×負＝正の有効性は実社会では実のあるものとなっています
そりゃそうですよ。負の数とはそうしたものなんですから。

お礼

暴論とおっしゃいますが、私は本屋の数学コーナーにおいてある数学者の書いた本を読み、自分も悩んだあげく質問をしているのです。
同じ疑問を持っている人は他にもいます。
負×負＝正
であると、そう考えるものなのですよ、というそれ以上のことは教科書は教えてくれません。あなたもそうです。
そこをあえて掘り下げて考えているのです。
面倒がらずに、納得のいく説明を得たいと思っているのです。

内積と外積ですが、これは掛け算とは違う性質のものですよ。
そもそも整数通しの掛け算と同列に考えられる演算であるなら、なぜ２種類あるのですか？
これは物理における仕事量と同じような概念で、人間が便宜的に設定した「ある量」を表すものです。積という言葉に惑わされてはいけません。どちらもスカラーであり方向は失われます。ベクトル同士は原則掛け合わせることはできないのです。

それから左右対称性が失われていることの実例は質問文に書いた通りです。
一方を正であるとすれば、その逆方向が負です。
負が正であると置き換えれば、正が負ということになります。
ですが負×負＝負とはなりません。
同じ関係が成り立たないのです。
これは負の数が持つ不思議な性質の一つです。

このような計算が実際の世界とどのような対応関係にあるのかが頭の中で整理できません。

少なくとも、初めの定義では明らかにベクトルと思えるものが、ベクトルのルールに囚われない魔法の概念のように適応されてしまっているように感じるのです。
そこに落とし穴がないと言い切れるのか？
私はその疑問に自らが答えられない。
もしより詳しく説明ができる方がいればぜひ教えてもらいたいのです。