どなたかご解答下さい！お願いします！！

質問

商空間(R/Q)はなぜハウスドルフ空間ではないのですか？
R/Qから任意の元を二つ持ってきた時、その二つが同じ同値類に入っていることがあるからですか？そうなるとその元たちにたいして交わらない開集合がとれないのでしょうか？でも商空間の元は同値類だし二つの同値類をもってくれば交わることはないように思います。
困ってます。よろしくお願いします！！

回答No.3

ojisan7

ちょっと気になったので、質問者さんのために補足させてください。R/QがなぜHausdorff空間でないかは、No2の方針で考えれば、容易に説明することができます。これ以上何も追加することはありません。

ただ、気になるのは質問者さんが、
>C(Q)を含む開集合はRしかない。C(R-Q)もRしか開集合はない。
と述べている部分は正しいと思います。しかし、その証明はややこしいですし、あまりスマートにはできないでしょう。たとえば、Qを含む開集合として、
(-ε,ε)+Qは加算個（Qは加算集合ですから）の開区間の和集合であり、Qの稠密性より、Rに等しくなります。ですから、C(Q)を含む開集合はRしかなさそうです。でも、この説明は「ぎこちない」ですね。

>R/Qにおいて同値類はC(R-Q)とC(Q)の二つだと思いました
これは誤りです。R/Qにおける同値類は一般的に、a+Qという形で表すことができます。たとえば、Q,√2+Q,√3+Q、・・・などはすべて異なる類です。同値類は無限個存在します。しかし、これらの個々の類について、それを含む開集合は上と同様に考えればRしかないことがわかります。したがって、R/QはHausdorff空間ではないことが予想されます。

お礼

丁寧なご回答本当にありがとうございます。

回答No.2

ojisan7

>R/Qにおいて同値類はC(R-Q)とC(Q)の二つだと思いました。

それは違います。a,b∈Rとしたとき、a～bはa-b∈Qと定義されますね。その同値類の集合がR/Qです。また、その位相は商空間の位相を導入します。（逆像が開集合のとき開集合であると定義する。）この位相を導入すると商空間R/Qに距離を定義するのが難しくなりますね。しかし、このことに深入りしても何も解決策は見いだされません。

ともかく、証明の考え方は、R/QがHausdorff空間であると仮定して矛盾を導きます。実際に使う性質は、Hausdorff空間より条件のゆるいT1空間についての性質、
「Sの商空間WがT1空間であるための必要十分条件はWの任意１点の逆像が閉集合であることである。」という性質を使います。（この証明は簡単です。）

T1空間でないのですから、当然、Hausdorff空間ではありません。

以上、証明の概略を述べましたが、あとはご自分で考えてください。

回答No.1

ojisan7

>でも商空間の元は同値類だし二つの同値類をもってくれば交わることはないように思います。

そうですね。二つの同値類は確かに交わりませんが、その同値類を含む二つの開集合は交わってしまいます。たとえば、同値類Qを含む開集合は何でしょうか。考えてみてください。

補足

アドバイスありがとうございます。
R/Qにおいて同値類はC(R-Q)とC(Q)の二つだと思いました。（Cの書き方が定義どおりでなくてすみません。私はこのように理解していますがもしかしたら違うかもです）
そこでC(Q)を含む開集合はRしかないと思いました。なぜならQは直線上に散らばっていると思ったからです。そんでもってC(R-Q)もRしか開集合はないと思いました。両方ともRしか考えられないからハウスドルフではないということなのでしょうか？
回答どうぞよろしくお願いします！！！