全微分(１次微分の相加性)

質問

現在偏微分のあたりを勉強中なのですが、
もうすぐ全微分が出てくる！というところで
以下のような記述がありました。

『関数u=u(x,y)の値が(x,y)から(x+Δx,y+Δy)に変わったらどれだけ変わるかを考える。
ここで、Δx,Δｙは小さいとし、これらについて1次までu(x+Δx,y+Δy)-u(x,y)を求めることを考える。差を2段に分けて

u(x+Δx,y+Δy) - u(x,y+Δy) = ∂u(x,y+Δy)/∂x × Δx
u(x,y+Δy) - u(x,y) = ∂u(x,y)/∂y × Δy

であるから、辺々足して

u(x+Δx,y+Δy) - u(x,y) = ∂u(x,y+Δy)/∂x × Δx + ∂u(x,y)/∂y × Δy
・・・(1)

つまり、(x,y)が(x+Δx,y+Δy)に変わるとき、関数u=u(x,y)の増分は、x,yの変化分に関して1次までなら

u(x+Δx,y+Δy) - u(x,y) = ∂u(x,y)/∂x × Δx + ∂u(x,y)/∂y × Δy
・・・(2)

となる。』

ここで、僕が質問したいのは
(1)ここで言う「１次」の意味を教えてください。
　「１回微分の話をしている」という意味でしょうか・・・？
(2)(1)式から(2)式になる際、
　∂u(x,y+Δy)/∂x = ∂u(x,y)/∂x
としているのですが、これはなぜ成り立つのですか？
　(以下、自分の考えです)

　∂u(x,y+Δy)/∂x = ∂u(x,y)/∂x
　単体でしたらこの等号は納得できるのですが、今は
　∂u(x,y+Δy)/∂x × Δx + ∂u(x,y)/∂y × Δy
　というような和を考えていて、
　「第二項はあるyについてyで編微分、
　第一項はそのyからΔyずれた位置にyを固定してxで編微分」
　しているのに、
　∂u(x,y)/∂x × Δx + ∂u(x,y)/∂y × Δy
　だと第一項と第二項で、
　同じy近傍を考えてしまっているように思います。

どなたかご返答の方よろしくおねがいします。

回答No.3

hugen

f(x+h,y+k)-f(x,y+k)
=fx(x,y+k)h
={fx(x,y)+fxy(x,y)k}h
=fx(x,y)h+fxy(x,y)kh (二次式)
=fx(x,y)h