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全微分(1次微分の相加性)
現在偏微分のあたりを勉強中なのですが、 もうすぐ全微分が出てくる!というところで 以下のような記述がありました。 『関数u=u(x,y)の値が(x,y)から(x+Δx,y+Δy)に変わったらどれだけ変わるかを考える。 ここで、Δx,Δyは小さいとし、これらについて1次までu(x+Δx,y+Δy)-u(x,y)を求めることを考える。差を2段に分けて u(x+Δx,y+Δy) - u(x,y+Δy) = ∂u(x,y+Δy)/∂x × Δx u(x,y+Δy) - u(x,y) = ∂u(x,y)/∂y × Δy であるから、辺々足して u(x+Δx,y+Δy) - u(x,y) = ∂u(x,y+Δy)/∂x × Δx + ∂u(x,y)/∂y × Δy ・・・(1) つまり、(x,y)が(x+Δx,y+Δy)に変わるとき、関数u=u(x,y)の増分は、x,yの変化分に関して1次までなら u(x+Δx,y+Δy) - u(x,y) = ∂u(x,y)/∂x × Δx + ∂u(x,y)/∂y × Δy ・・・(2) となる。』 ここで、僕が質問したいのは (1)ここで言う「1次」の意味を教えてください。 「1回微分の話をしている」という意味でしょうか・・・? (2)(1)式から(2)式になる際、 ∂u(x,y+Δy)/∂x = ∂u(x,y)/∂x としているのですが、これはなぜ成り立つのですか? (以下、自分の考えです) ∂u(x,y+Δy)/∂x = ∂u(x,y)/∂x 単体でしたらこの等号は納得できるのですが、今は ∂u(x,y+Δy)/∂x × Δx + ∂u(x,y)/∂y × Δy というような和を考えていて、 「第二項はあるyについてyで編微分、 第一項はそのyからΔyずれた位置にyを固定してxで編微分」 しているのに、 ∂u(x,y)/∂x × Δx + ∂u(x,y)/∂y × Δy だと第一項と第二項で、 同じy近傍を考えてしまっているように思います。 どなたかご返答の方よろしくおねがいします。
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