簡単な三角関数の問題なんですが・・・

質問

sinθ＝√3×cosθ　（0=<θ<2π）　θを求めよ！　・・・（１）

という問題で、回答は

tanθ＝√3　・・・（２）
θ＝π/3,4π/3　・・・（３）

なんですが、僕は

±√{1-(cosθ×cosθ)}＝√3×cosθ　・・・（４）
1-(cosθ×cosθ)＝3cosθ×cosθ　・・・（５）
cosθ×cosθ＝1/4　・・・（６）
cosθ＝±1/2　・・・（７）
θ＝π/3,2π/3,4π/3,5π/3　・・・（８）

とやって、間違えてしまったのですが、どこの論理が間違っているのか分かりません。

お分かりになる方、教えて下さい！

宜しくお願い致します。

回答No.2

sanori · ベストアンサー

こんばんは。

要は、x = cosθ　として
±√(1 - x^2) = √3・x
1 - x^2 = 3x^2
x^2 = 1/4
x = ±1/2
としたわけですよね。

こういう例はいかがですか。
ａ＝２
だから、ａ^2　＝　４
だから、ａ＝２　または　ａ＝－２
何か、おかしなことになっちゃいましたよね？
「ａ^2＝４　（すなわち、ａ＝２またはａ＝－２）」
というのは、ａ＝２　の必要条件であって、
ａ^2＝４　には、不要の解（ａ＝－２）が混じっているわけです。

あなたの敗因は、
±√(1 - x^2)
というふうに、ｘの２乗を登場させてしまった点です。
それによって、不要の解が発生してしまいました。
それを避けるには、第１象限、第２象限、第３象限、第４象限それぞれで、sinθ と cosθ の正負を調べなければいけません。
しかし、そんな面倒なことをしなくても、tanθ を使えば簡単に解くことができるのです。

お礼

なるほど～！

自分で問題を面倒にしていたんですね（笑）
簡単な例で説明していただいたおかげで、スッキリ分かりました。

ありがとうございました！

回答No.1

debut

(8)の結果にある2π/3を元の式 sinθ=(√3)cosθに入れてみれば
左辺は正、右辺は負になってしまいますよね。

元の方程式からsinθとcosθは同符号(あるいは共に０・・
しかしこれはない）でなければならないので、θは第一、第三
象限の角であることがいえます。
よって、(7)から(8)でそのことを加味しなくてはなりません。

お礼

＞元の方程式からsinθとcosθは同符号(あるいは共に０

確かに！
その条件を見落としていました・・・

ありがとうございます！