確率の漸化式

質問

次の問題を教えて下さい

１から10までの数字を一つずつ書いた10枚のカードが小さい数字の順に並べてある。この中から任意に２枚のカードを抜き出し、その場所を入れ替える、という操作を考える。この操作をｎ回行った時、１枚目のカードの数字が１である確率Ｐｎを求めよ。

多分「確率Ｐｎを求めよ」とは、「Ｐｎをｎの式で表せ」て事だと思います。

回答No.2

kabaokaba

「k回の操作後，1枚目のカードが1である」事象をX(k)と表す．

P1=P(X(1))：一回の操作後，1枚目のカードが1である確率
X(1)は，1回目の操作の際に1を選ばない事象であるので，
9C2=9*8/2通り
よって，P1 = 9C2 / 10C2 = (9*8)/(10*9)=4/5

Pk=P(X(k))：k回の操作後，1枚目のカードが1である確率
これを用いて，Pk+1=P(X(k+1))を表す．
X(k+1)=「(k+1)回の操作後，1枚目のカードが1である」
というのは，

(1) X(k)=「k回の操作後，1枚目のカードが1である」であって
そのときに，A=「(k+1)回目の操作で1枚目のカードを選ばない」
(2) X(k)の否定=「k回の操作後，1枚目のカードが1ではない」であって
そのときに，B=「(k+1)回目の操作で1枚目のカードと「1のカード」を選ぶ

という二つの排反な事象に分解される．
(1)の確率は，条件付確率P(A∩X(k))であり，
(2)の確率は，条件付確率P(B∩(X(k)の否定))である
ベイズの定理より
P(A|X(k))=P(A∩X(k))/Pk
P(B|X(k)の否定)=P(B∩(X(k)の否定))/(1-Pk)
一方，
P(A|X(k)) = 4/5 (k=1のときと同様)
P(B|X(k)の否定) = 1/10C2 = 1/45
したがって，
P(A∩X(k))= (4/5)Pk
P(B∩(X(k)の否定))=(1/45)(1-Pk)

よって，
Pk+1=(4/5)Pk + (1/45)(1-Pk)
Pk+1=(7/9)Pk+1/45 (P1=4/5) (k=1,2,3,...)

これをとくと
Pn=(7/9)^{n-1}(7/10) + 1/10
これはn=0のときも成り立つ（P0=1となるので）．

注意点は1回目の操作による状態の移り変わりとと
それ以降の操作によるものが違うことです．
ですので，漸化式が0回目からとしてしまうとまずいのです．

回答No.1

zk43

n-1回操作を行ったとき、１枚目が１である場合と、１でない場合を考
え、それぞれの状態から、もう１回操作を行って、n回操作を行ったと
き、１枚目が１になるという確率を表す漸化式を考えれば良いと思いま
す。
すなわち、n-1回操作を行ったとき、１枚目が１である確率はP(n-1)、
１でない確率は1-P(n-1)であり、これらとPnを結びつける漸化式を考え
れば良いと思います。また、P0=1です。