十分条件と必要条件（高校数学）

質問

こんばんは。
高校数学（１Ａ又は２Ｂです）の「論理」の「十分条件」「必要条件」に関する問題集中の問題に関する質問です。

問題：
　次の□にあてはまるものを下欄から選び、その番号を答えよ。

　「実数aについて、ｘ＞１である任意の実数ｘがx^2＞ａを満たすことは、ｘ≧１である任意の実数ｘがｘ^2＞ａを満たすために、□。」

　(1)必要だが十分でない。　　(2)十分だが必要でない。　　(3)必要かつ十分である。　　(4)必要でも十分でもない。

解答：(1)

解説：　”ｘ＞１ならば、常にｘ^2＞ａ”が成り立つためのａの条件は、ａ≦１となることである　←なぜですか？
　他方、”ｘ≧１ならば常にｘ^2＞ａ”が成り立つためのａの条件は　ａ＜１となることである。　←なぜですか？
ゆえに、　ａ≦１はａ＜１であるための何条件か、という問いに答えればよい　←なぜですか？

↑この問題の解説を読んでも全く理解できません。どういうことなのでしょうか？
　わかる方がいらしゃいましたら、さらに詳しい解説をお願いします。

回答No.2

noname#121811 · ベストアンサー

実数aについて
（１）ｘ＞１である任意の実数ｘについてx^2＞ａ
（２）ｘ≧１である任意の実数ｘについてｘ^2＞ａ

（２）を分解すると
ｘ＞１である任意の実数ｘについてｘ^2＞ａ
Ｘ＝１の時もｘ^2＞ａを満たす

必要十分条件の矢印は習いましたね。矢印はどちら向きですか？
（１）→（２）は×です。（１）が成立しても（２）でｘ＝１まで保証できません。
（１）←（２）は○です。（２）でｘが広い範囲で成立してるので、（１）の狭い範囲でも成立します。
・・・よって答えは。。。

質問への直接の回答ではありませんが、上記のようにして解けます。

お礼

回答ありがとうございます。

＞実数aについて
（１）ｘ＞１である任意の実数ｘについてx^2＞ａ
（２）ｘ≧１である任意の実数ｘについてｘ^2＞ａ

↑こうして並べて書くと分かりやすいですね。

＞（２）を分解すると
ｘ＞１である任意の実数ｘについてｘ^2＞ａ
Ｘ＝１の時もｘ^2＞ａを満たす

↑　なんとなく分かったような気がします。
回答ありがとうございます。

補足

補足質問です。

（１）ｘ＞１である任意の実数ｘについてx^2＞ａ
（２）ｘ≧１である任意の実数ｘについてｘ^2＞ａ

と
(1)ａ≦１
(2)ａ＜１

は関連させなくてよいのでしょうか？

回答No.5

tttttr

まず十分条件と必要条件の見分け方を書いときます。

「Aである」ならば「Bである」

という問題だったとします。
まずイメージは　十→必　です。十から棒が飛び出してる感じですね。
「Aである」→「Bである」と考えます。

「Aである」ならば「Bである」が正しければ
「Aである」は「Bである」の十分条件です。
逆に「Bである」は「Aである」の必要条件です。
十→必　の使い方分かります？

今度は逆にして「Bである」ならば「Aである」が正しければ
「Bである」は「Aである」の十分条件です。
「Aである」は「Bである」の必要条件です。

十分条件でなおかつ逆にしたときの必要条件なら必要十分条件ですね。

いまの問題も同じように考えます。
「実数aについて、ｘ＞１である任意の実数ｘがx^2＞ａを満たす」ならば「ｘ≧１である任意の実数ｘがｘ^2＞ａを満たす」
ということですね。
これは正しいかどうか考えます。
ｘ＞１ならx^2は絶対に１より大きいですね？
逆に言えばどんなに頑張っても１より大きいですね？
１にはなれません。
つまり最初の文はaは１か1より小さければいい。ということですね？
よってａ≦１がいえます。
次の文はｘ≧１なのでｘ^2は1以上です。１にもなれますね。
つまりaは1より小さくなければなりません。ａ＜１です。

これで翻訳が完了しました。
つまり
「ａ≦１」ならば「ａ＜１」です。
これは間違いですね。
つまり「ａ≦１」は「ａ＜１」の十分条件ではないですし
「ａ＜１」は「ａ≦１」の必要条件じゃないです。
今度は逆にして「ａ＜１」ならば「ａ≦１」としてみます。
これは正しいですね。
つまり「ａ＜１」は「ａ≦１」の十分条件
「ａ≦１」は「ａ＜１」の必要条件なんですね。

ポイントは条件の翻訳と十→必ですね

これはよく頭がぐじゃぐじゃになるのでこういう風に決まったやり方が楽ですね。

お礼

回答ありがとうございます。

＞これはよく頭がぐじゃぐじゃになるのでこういう風に決まったやり方が楽ですね。

↑「頭がぐじゃぐじゃにな」りました。回答ありがとうございます。

回答No.4

noname#49614

＃１です

そうですね、今回はｘ＝１を含むか含まないかだけの差ですね。
ちなみに＃２さんの言うように、今回の場合「ｘ^２＞ａ」は共通しているので実は「ｘ＞１はｘ≧１に対してどうなのか」という問いになります。
こうなると全く頭を悩ませることなく「必要だが十分ではない」という解にたどりつけますね。

お礼

回答ありがとうございます。

問題が単純化できました。

回答者様には感謝いたします。

回答No.3

noname#121811

＃２です。補足質問に回答します。
私の解答では不要です。そもそも内容なんて無関係です。単に論理学的に解いてるだけです。
（２）を分解すると片方は（１）と同じですね。
つまり（２）＝（１）＋（３）であると言えます。

（１）が成立→（１）と（３）どちらも成立　　これは言えないですね
（１）が成立←（１）と（３）どちらも成立　　こちらは言えますね

数学的な解答ではありませんので、インチキとは言いませんが数学の参考にはなりません。しかしこんな単純な解答を許してしまうなんて、とても良問とは言えません。

お礼

回答ありがとうございます。

＞数学的な解答ではありませんので、インチキとは言いませんが数学の参考にはなりません。しかしこんな単純な解答を許してしまうなんて、とても良問とは言えません。

旺文社の問題集なので信頼していましたが、問題（又は作者）にもよるのかもしれませんね。少し安心しました。

回答No.1

noname#49614

一つ目：
「x＞1」ということは１を含まない。つまり２乗したら必ず１よりも大きな数になります。逆に言うと１よりわずかでも大きければどんなに１に近くてもいいわけです。
つまりそれがどんなときもａより大きいようになるにはａは最大でちょうど１、すなわち１以下「ａ≦１」でなくてはいけません。

二つ目：
一つ目の発想から延長してください。「ｘ≧１」の場合は１を含みます。つまりｘ^２の最小値は１、よってａは１を含んではならず「ａ＜１」となります。

三つ目：
つまりこの問いにおいて「ｘ＞１」と「ａ≦１」、「ｘ≧１」と「ａ＜１」は同じことなので、ａ≦１はａ＜１であるための何条件か、という問いに変換されます。

ちなみに、「ａ≦１」は「ａ＝１」を含むため十分条件にはならない、ということでこの問いの解となります。

お礼

回答ありがとうございます。

回答者様の回答を読んでいて、Ｘ＝１におけるＹ＝ｘ^2とＹ＝ａとの大小関係を考えればいいのかなあ…　という気がしてきました。

回答に感謝いたします。