必要条件？十分条件？必要十分条件？

質問

こんにちは。
例えばの話ですが、
y=f(x)の最大値を求めよ
という問題があったとして、その最大値はy=f(x)であるためのなんらかの条件となっているのでしょうか？
それともこれに必要条件などの議論を持ち込むのは間違っているのでしょうか？
最近数学の問題を見るといつも、これは必要条件なのか？十分条件なのか？それとも必要十分条件なのか？と考えてしまい、全然問題を解くのに集中できません。
今まではこんなこと考えることはなかったのですが、今は気になってしまい、とても困っています。
どうかよろしくお願いします。

回答No.4

Ishiwara · ベストアンサー

＃２です。話を単純化してみます。一つずつお確かめください。
以下の記述は、すべて同じことを言っています。

(1) Ａが成立すればＢは成立する。
(2) 「Ａが成立すればＢは成立する」という命題は「真」である。
(3) Ａ→Ｂ
(4) ＡはＢの十分条件である。
(5) ＢはＡの必要条件である。
(6) Ｂが成立しなければＡは成立しない。

Ａ（方程式、不等式、またはその他の命題）の解とは、Ａの必要条件Ｂをできるだけ簡単な形で記述したものです。

ただし、問題の性質によっては、求めた解が必要かつ十分であることが自明の場合があります。お尋ねの「ｙの最大値」は、答が１つに決まっていますから、求められた解Ｂは、出題Ａの必要条件であると同時に十分条件でもあり、計算に間違いがない限り正解とされます。

しかし「ｙの最大値を与えるｘの値を求めよ」という出題であれば、答が１つとは限りませんから、偶然に見つけた１つの解を書いても、それは十分条件にすぎないので、正解とされません。

回答No.3

Tacosan

「y = f(x) の最大値が α である」というのが正しければ, 「最大値が α である」ことは「y = f(x) である」ことの必要条件になるかな.
ちなみに, 普通は「必要十分条件」を答えさせるものではないでしょうか＞#2. 「必要条件」でよければ, 例えば「x^2 = 4 の必要条件は x が -3 以上 3 以下であること」と言えるけど, 「x^2 = 4 を解け」といったときに「-3 ≦ x ≦ 3」という答えを正解にしてくれる人は少ないと思います.

回答No.2

Ishiwara

質問者さんが困っているのは、実は「用語の問題」だと思います。用語をしっかり整理すれば、悩みは解決します。

「‥は‥である」「‥は‥でない」という記述を「命題」といいます。また「等号や不等号を含む式」も「命題」です。「等号や不等号を含まない式」は命題ではありません。

どんな命題も「真」または「偽」という値を持ち得ますが、「真偽不明」という場合もあります。「条件が不十分なので不明」という場合と「現在の学問レベルでは不明」という場合があります。

「Ａが成立すればＢも成立する」という記述もまた１つの「命題」です。この場合ＡはＢの「条件」であるといいます。

「Ａが成立すれば、他の条件に関係なく必ずＢが成立する」場合に、Ａは十分条件だといいます。他方、「Ａが成立しなければＢは成立しない」場合には、Ａは必要条件だといいます。両方成立すれば必要十分条件だといいます。

このことから、「ＡがＢの必要条件」であれば「ＢはＡの十分条件」だ、という関係にあります。

一般に、数学の簡単な問題では「条件」を意識する必要がない場合が多いのですが、あえて意識するならば、以下のような「暗黙の了解」が存在します。

ｘの２乗＝４（命題Ｂ）を解け、という問題があり、その答として、ｘ＝±２（命題Ａ）という答が得られたとします。「Ｂを解け」というのは「Ｂの必要条件を求めよ」ということです。また、記号「±」は「プラスまたはマイナス」という約束です。

もし、解答者がｘ＝２と答えたとします。この答でも命題Ｂは成立しますから「この答はＢの十分条件である」と言えます。「十分」なら点をくれてもよさそうなものですが、Ｂの必要条件（Ｂを成立させるｘの値をすべてORで連結したもの）を示さないと正解とされないことになっています。これは、数学の暗黙の了解です。

抽象的な話で、ちょっとたいへんですが、また悩まれたら「具体的な例」を挙げて、質問してください。

回答No.1

koko_u_

>今まではこんなこと考えることはなかったのですが、
>今は気になってしまい、とても困っています。
何も考えずに、条件反射的に答えるよりも余程マシです。
あなたが今考えていることは無駄ではありません。