必要十分条件の求め方

質問

「全ての整数xについて、Sx^2+Tx^2+Ux^2―(1)の値が偶数になる」

という条件が成り立つための定数S,T,Uの必要十分条件を求めよ。

という問題があるとします。

必要十分条件の求め方は、まず必要条件を求めてそれが十分条件であるかどうかを確認するというのがセオリーなんですよね。

そこでこの問題も例に漏れず、まず(1)が特殊な場合にも成り立たなければいけないということで、
x=0,1,-1の場合を考えるそうです。

しかし私にはこの考え方がよく分かりません。

何を以って「特殊な場合」と判断しているのでしょうか？

また、何故x=0,1,-1の場合で考えたa,b,cの条件が必要十分条件となり得るんでしょうか？

これはつまりx=0,1,-1の場合さえ満たしていればxが他の値をとるときはすべて(1)が偶数になるということですよね？これは何故なのでしょう・・・。

(1)が偶数にならない他のxの値もあり得るのではないでしょうか？

たとえば、「人間ならば動物である」という文章は、「動物である」ということが十分条件で、このように十分条件には必要条件に対してある程度包括的な内容が求められると思うのですが、x=0,1,-1の場合を求めるだけでなぜxを包括できていることになるのでしょう？

？が多い文章ですね・・・。説明できる方、よろしくお願いします！

回答No.4

B-juggler · ベストアンサー

Ｎｏ．１です。　

「一般・特殊」のはなしはＡｌｉｃｅ先生が書いてくださっているので略。

　余談ですが、こういう話って学校ではやらないんでしょうかねぇ？？

単純に分からない数（変数？）が三つあるのだから、ｘに何か３つ代入して考えよう！

ってことで書いてあるだけ。　まとめるとそういうこと・・・。

これだけでは危ないんだけどね、Ａｌｉｃｅ先生書かれているとおり、

Ｎｏ．２先生かかれてあるとおり。

Ｓｘ＾２　＋　Ｔｘ　＋Ｕ　（１）　

全ての整数ｘにおいて（１）が偶数。　この必要十分条件ね。

これだったら、ｘ＝０　は　Ｕが決められるね。　当然Ｕは偶数だ。

ｘ＝１　と　ｘ＝－１　は別物として扱わないといけないね。

一応このｘ＝０，１、－１　で当たりはつきますよ、ってことだね。

ただやはりこれだけでは危ないと思うよ。

ｘ＝２　のとき、　Ｕ　が偶数であれば、　Ｓ，Ｔは（両方とも奇数）でも構わないのだから。

後は必要条件のときに考えてあげて、ダイジョウブか判断すればいいことだと思うけどね。

ゆっくり行かないと、失敗するだけだよ。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

お礼

2回目の回答もしてくださりありがとうございます。

皆様の回答を念頭に置きつつ、xに-5から5までの数字を代入してみました。そこでまずcが偶数であることを確定できました。そこからいろいろな式の形を見て、偶数と偶数、奇数と奇数の和や差は偶数であることを思いつき、aとbが分かりやすく足し算と引き算の形になっているx=-1,1の場合を考えればいいのでは？

という流れを作ってみました。

皆様のお陰で必要十分条件に関する問題の考え方が養われたと思います。

それと余談ですが数学を学ぶ上で必要な前提を知らなかったということが多々あるので、落ち込む時があります。

回答No.3

alice_44

「特殊な場合」の「特殊」は、何か特別な…てことじゃなく、
単に「一般的でない」、いくつかの具体的な例だってことです。
この「一般的」も、世間でありふれた…て意味ではなく、
例外無くすべての場合を含むことを指します。
この「特殊」「一般」は、日常の日本語とは異なる、数学独特の
言い回しですから、意識して区別したほうがよいでしょう。

必要十分条件を求める場合、十分条件を絞り込んで行って、
最後に十分性を確認して終わるパターンが主流です。
「～だから～となる」という推論は、必要条件の導出であり、
日頃、そういう順番で物事を考えることが多いからです。

でも、逆の順番も可能です。
真っ先に直感で十分条件を挙げてしまい、後から、
条件を満たさない場合には常に反例がある(必要である)ことを
証明したっていいんです。

お礼

ありがとうございます。

特殊な場合というのはてっきり、「普通とは外れた」などといった意味があるのだと思っていました・・・違いを頭に入れておきます。

全ての整数xについて(1)が偶数になるから、xに何を代入しても偶数になるということですね。
そこから逆の場合も成り立つことを確認するという流れがスムーズにイメージできるようになった気がします。

回答No.2

sak_sak

>何を以って「特殊な場合」と判断しているのでしょうか？
何でも構いません。x=5でもx=-10でも何でも良いのです。
一般的な人間が扱いやすい数というだけのことです。
式からしてxの候補として3つの偶数を想定したらダメでしょうけど。

>また、何故x=0,1,-1の場合で考えたa,b,cの条件が必要十分条件となり得るんでしょうか？
必要十分条件であるとは限りません。
ただ未知数が3つなので、3通りのxについて解いて得た解が
十分条件を満たさないようなら「解無し」になります。

>これはつまりx=0,1,-1の場合さえ満たしていればxが他の値をとるときは
>すべて(1)が偶数になるということですよね？これは何故なのでしょう・・・。

>(1)が偶数にならない他のxの値もあり得るのではないでしょうか？
ありえます。
ですから十分条件を満たすかどうかの吟味は必要です。

お礼

ありがとうございます。

「xに代入する数は扱いやすい数ならなんでもいい」とのことですが、この問題においてその扱いやすい数とは何なのでしょう？
また、それはどのように判断するのでしょう？

それとも明確な基準はなく、こういった問題は実際に整数をいくつか代入してみて、十分条件であることを確かめていくという作業がメインなのでしょうか？
（この問題で言えば、xに代入する整数を2以上の偶数と奇数に大別して(1)の式を考察することができるので、その例外である0,1,-1について考えてみよう、ということでしょうか）

それと余談ですが質問の中でS,T,Uがa,b,cになっていますね。
本当にすみません・・・。

回答No.1

B-juggler

まず　「説明できる方、よろしくお願いします！」この文は要らない。

説明できる人間しか答えないよ。落ち着いて質問しようか？

σ(・・*)は「例え」はあまり良くはないと思うけれど、ここの話は保留させて。

本題を考えます。
「全ての整数xについて、Sx^2+Tx^2+Ux^2―(1)の値が偶数になる」

これに関して　Ｓ，Ｔ，Ｕ　の必要十分条件を求める。

少し式を変形しますね。

（１）　（Ｓ＋Ｔ＋Ｕ）ｘ＾２　が偶数

ここはいいね？　ｘは全ての整数と。

これは特殊なのは　ｘ＝０だけだと思うけれど？（０は偶数だから、ＳＴＵは何でもいい）

ｘ＾２　なのだから、マイナスは関係ないと思うのだけど。

ｘ＝１　のときを考えるんだろうね、まずは。

（Ｓ＋Ｔ＋Ｕ）　が偶数　になるね。全部が偶数か、二つ奇数かかな？

ｘ＝２　のときは　４×（Ｓ＋Ｔ＋Ｕ）　だから、これは偶数だね。どうやっても。

ｘ＝３　のとき　９×（Ｓ＋Ｔ＋Ｕ）　だから　ｘ＝１と同じだね。

ここまで来ると、分かるんじゃないかな？

ｘ：偶数のときと、奇数のときで違うよ？って言う話です。

ｘ：偶数のときは　ｘ＝０　と同じでなんでもいいよ～。

ｘ：奇数のとき　ちゃんと考えてねぇ～。　こういう問題だと思うよ。

特殊なパターンなんてそうそう存在しなくて、順番にいれてみているだけだと思うがね・・。

この頃は必要十分をやるんだね。冷静にがんばってね。

余裕があったら、対偶で調べて（検算ね）してみて？

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

お礼

ありがとうございます。

大変申し訳ありません、こちらのミスで言わなければならないことがあります。

補足で説明させていただきます。

補足

本当に申し訳ありません。

おっしゃるとおりです、落ち着いていませんでした。

私が質問しようとしていたのは

「全ての整数xについて、Sx^2+Tx^2+Ux^2―(1)の値が偶数になる」

ではなく、

「全ての整数xについて、Sx^2+Tx+U―(1)の値が偶数になる」

だったのです。

おっしゃる通り、私の書いた問題文だと、x^2でくくると数字を当てはめると分かってきますよね・・・。

今後は迷惑をおかけしないように気をつけます。

もしよろしければこちらの方にも回答していただけるとうれしいです。

厚かましいお願いですが・・・。