必要十分条件

質問

a、x∈Rとするとき、任意のxに対し、条件
x>a ⇒　x^2 >a^2
が成り立つための必要十分条件を求めよ。

という問題でで。
--------以下、回答----------------------
任意のxに対して
x>a ⇒　x^2 >a^2
が成り立つとし、a≧０が成り立つ。

次に、a≧０が成り立つと仮定すると・・・
『xはに任意だが、x>0を満たす前提があるので
x≦a　については考えない。』

としたところ、誤りを書かれ不合格になってに戻ってきました。

回答No.5

N64

x>a ⇒　x^2 >a^2 は、　
x - a > 0 ⇒　x^2 - a^2=(x + a)(x - a) > 0 と同じ。
従って、答えは、x + a > 0 で、よいのではないでしょうか？

回答No.4

mis_take

> が成り立つとし、a≧０が成り立つ。
日本語になっていませんね，言いたいことがわかりません。
「が成り立つとすると，ａ≧0 が成り立つ」
と言いたかったのでしょうか。
そうだとして，これは明らかにわかることではありません。
ａ＜0 のときは成り立たない（反例を挙げる）ことを言わないといけません。

> 『xはに任意だが、x>0を満たす前提があるので
> x≦a　については考えない。』
これもまた，変な日本語ですね。
こちらは，ほぼ明らかなので，
「逆に，ａ≧0 のときは成り立つ」
でもいいかも知れませんが，きちんと書くことに越したことはありません。
たとえば，次のように書きます。

ｘ＞ａ とする
ａ≧0 より ｘ＞0
ｘ＞ａ の両辺にｘをかけて ｘ^2＞ａｘ
ｘ＞ａ の両辺にａをかけて ａｘ≧ａ^2
ゆえに ｘ^2＞ａ^2

回答No.3

y_akkie

証明としては以下のようにすれ手順によって行えば良いかと思います（あまり、自信がありませんが…）。

まず、命題が成立するための必要十分条件は、a≧0であると推定します。
次に、「a≧0ならば命題「x>aならばx^2>a^2」は真である」という命題が成立する事を示し、その裏の命題である「a<0ならば命題「x>aならばx^2>a^2」は真ではない」事を証明します。これは、逆の対偶である裏が真になれば逆も成立する事を利用しています。これらを証明できれば、

a≧0　⇔　「x > a ならば x^2 > a」である事が言えるのではないでしょうか。

証明：「a≧0ならば命題「x>aならばx^2>a^2」は真である」

x^2-a^2 =(x-a)(x+a)
x>aより、(x-a)>0になります。
a≧0より、(x+a)-(x-a) = 2a ≧ 0
よって、(x+a)≧(x-a) > 0より、
x^2-a^2 > 0となり、x^2>a^2になります。
よって、(x-a)>0 a≧0という仮定の下で、
x^2>a^2が成立する事がいえますので、命題は
正しい事が証明されました。

証明：「a<0ならば命題「x>aならばx^2>a^2」は真ではない」
x^2-a^2=(x-a)(x+a) a < 0,(x-a)>0より
(x+a)-(x-a) = 2a < 0
(x+a)<(x-a)になります。
(x+a) ≦ 0 < (x-a)、すなわち、 a ≦ x < -aを満たすxに対しては
x^2≦a^2となり、任意のxに対して成立しないので、a<0ならば、
命題「x>aならばx^2>a^2」は偽である事が示されたので、題意が成立する事が証明されました。

回答No.2

10ken16

これでは、答案になってないと見なされても
文句は言えません。

とりあえず答案を書く前に、
a<0のとき、命題が成り立つような
十分条件について考えてから
他の場合も整理して考えましょう。

回答No.1

precog

後半が読んでて訳がわかりませんね。

x>0の前提とはどこから来てますか?

あと、考えないことがなぜ十分条件になるのか理解出来ません。

それと、必要十分条件と言われた時は、どこの部分が必要条件の証明で、どこの部分が十分条件なのかちゃんと書かないと、証明になってないと思いますけど。