広義積分が収束するようpとqを定めよ

質問

こんにちは。宜しくお願いします。

下記の問題なのです。

[問]次の広義積分が収束するようpとqを定めよ。
(1) ∫[2 to ∞]x^p(ln(x))^qdx (ln(x)は底がeの対数)
(2) ∫[0 to ∞]x^p(ln(1+x))^qdx

で困ってます。どのようにしてpとqを求めればいいのでしょうか?

回答No.1

muturajcp

(1)
p<-1.or.(p=-1)&(q<-1)

F(p,q)=∫_{2～∞}x^p{(log(x))^q}dx
とすると
F(p,q)=∫_{log2～∞}e^{t(p+1)}(t^q)dt

p=-1,q<-1のとき
F(-1,q)=∫_{log2～∞}(t^q)dt
F(-1,q)=[t^{q+1}/(q+1)]_{log2～∞}
F(-1,q)=-(log2)^{q+1}/(q+1)

p<-1のとき
F(p,0)=-2^{p+1}/(p+1)
F(p,1)=2^{p+1}{1-(p+1)log2}/(p+1)^2

q<1のとき
|F(p,q)|
≦|∫_{log2～1}e^{t(p+1)}(t^q)dt|+|∫_{1～∞}e^{t(p+1)}tdt|
≦|∫_{log2～1}e^{t(p+1)}(t^q)dt|+|F(p,1)|
だからF(p,1)が収束するときF(p,q)は収束する

ある整数kに対して
k-1≦r≦kのときF(p,r)が収束すると仮定すると
k≦q≦k+1のとき
k-1≦q-1≦kだからF(p,q-1)が収束するから
F(p,q)={-(2^{p+1}(log2)^q)-qF(p,q-1)}/(p+1)
は収束する
∴
p<-1のときF(p,q)は収束する

(2)
p<-1,p+q≧0

f(p,q)=∫_{2～∞}x^p{(log(1+x))^q}dx
g(p,q)=∫_{0～2}x^p{(log(1+x))^q}dx
G(p,q)=f(p,q)+g(p,q)
とすると
f(p,q)=∫_{2～∞}x^p{(log(1+x))^q}dx
≦∫_{2～∞}[(x^p){2log(x)}^q]dx
=(2^q)F(p,q)
p<-1のときf(p,q)は収束する

g(p,q)=∫_{0～log3}e^t(e^t-1)^p(t^q)dt
g(p,q)=∫_{0～log3}e^t(t^{p+q}{t/(e^t-1)}^{-p})dt

p<-1のとき
lim_{t→0}e^t(t^{p+q}{t/(e^t-1)}^{-p})
=lim_{t→0}t^{p+q}
p+q=0のときlim_{t→0}t^{p+q}=1
p+q>0のときlim_{t→0}t^{p+q}=0
p<-1,p+q≧0のときg(p,q)は収束する
∴
p<-1,p+q≧0のときG(p,q)は収束する