[問]∫[0～1/2]x^p|ln(x)|^qdxが収束するようにpとqの値を定めよ

質問

[問]∫[0～1/2]x^p|ln(x)|^qdxが収束するようにpとqの値を定めよ。
x:=e^tと置いて
dx=e^tdt
x→0⇒t→-∞
x→1/2⇒t→ln(1/2)
だから
∫[0～1/2]x^p|ln(x)|^qdx=∫[-∞～ln(1/2)]e^(pt)|t|^qdt
ここから先に進めません。
どうすればいいのでしょうか?

回答No.2

koko_u_

>x^p|ln(x)|^qなら0に近づくに連れて+∞です。
>0に近づくにつれて|ln(x)|の方が早く+∞になりそうだからです(多分)。

p, q がゼロや負の場合も考えてね。

多項式よりも log の方が「早く」∞になるという着眼はよいです。それを積分の評価に組込めば結果を得ます。

お礼

ありがとうございます。

>>x^p|ln(x)|^qなら0に近づくに連れて+∞です。
>>0に近づくにつれて|ln(x)|の方が早く+∞になりそうだからです(多分)。
> p, q がゼロや負の場合も考えてね。

忘れておりました。

p=q=0の場合は∫[0～1/2]x^p|ln(x)|^qdx=∫[0～1/2]dxで収束?
単純すぎますかね。

p=0,q>0の場合は∫[0～1/2]x^p|ln(x)|^qdx=∫[0～1/2]|ln(x)|^qdxとなり,
x→0の時,|ln(x)|^q→∞。
然し,∫[0～1/2]|ln(x)|^qdxが収束するかは不明。
でもグラフは右上に上昇していくのできっと発散。

p=0,q<0の場合は∫[0～1/2]x^p|ln(x)|^qdx=∫[0～1/2]|ln(x)|^qdxとなり,
x→0の時,|ln(x)|^q→0。
然し,∫[0～1/2]|ln(x)|^qdxが収束するかは不明。

p>0,q=0の場合は∫[0～1/2]x^p|ln(x)|^qdx=∫[0～1/2]x^pdxとなり,
x→0の時,x^p→0。
然し,∫[0～1/2]x^pdxが収束するかは不明。

p<0,q=0の場合は∫[0～1/2]x^p|ln(x)|^qdx=∫[0～1/2]x^pdxとなり,
x→0の時,x^p→∞。
然し,∫[0～1/2]x^pdxが収束するかは不明。
でもグラフは右上に上昇していくのできっと発散。

p,q<0の場合はx→0の時,|ln(x)|^q→0の方がx^p→∞より早いので0。
然し,∫[0～1/2]x^p|ln(x)|^qdxが収束するかは不明。

p<0,q>0の場合はx→0の時,x^p→∞,|ln(x)|^q→∞なのでx^p|ln(x)|^q→∞
然し,∫[0～1/2]x^p|ln(x)|^qdxが収束するかは不明。
でもグラフは右上に上昇していくのできっと発散。

p>0,q<0の場合はx→0の時,x^p→0,|ln(x)|^q→0なのでx^p|ln(x)|^q→0
然し,∫[0～1/2]x^p|ln(x)|^qdxが収束するかは不明。

p,q>0の場合はx→0の時,|ln(x)|^q→∞の方がx^p→0より早いので∞。
然し,∫[0～1/2]x^p|ln(x)|^qdxが収束するかは不明。
でもグラフは右上に上昇していくのできっと発散。

> 多項式よりも log の方が「早く」∞になるという着眼はよいです。
> それを積分の評
> 価に組込めば結果を得ます。

上記のように予想しましたがどうやって断定すればいいのでしょうか?

回答No.1

koko_u_

式変形は後でよい。

まず考えるべきは「積分が収束する／しない」に影響する点何処か。
その点の付近で x^p と | log(x) |^q の振る舞いはどうか、です。

お礼

早速のレス有難うございます。

> 式変形は後でよい。
> まず考えるべきは「積分が収束する／しない」に影響する点何処か。

x^p|ln(x)|^qではなく∫[0～1/2]x^p|ln(x)|^qdxの収束有無に関係する点ですよね?
うーん、ちょっとわかりません。

x^p|ln(x)|^qなら0に近づくに連れて+∞です。
0に近づくにつれて|ln(x)|の方が早く+∞になりそうだからです(多分)。

> その点の付近で x^p と | log(x) |^q の振る舞いはどうか、です

0付近ではx^pは0に近づき、| log(x) |^qは+∞になります。

すいません。これくらいしか分かりません。