数の範囲

質問

高校数学からの質問です。
（１）２Ｘ^2－４Ｘ＋５＝０の解を判別せよ。
（２）Ｘ^3－２Ｘ^2－５Ｘ＋６を因数分解せよ。
特に数の範囲が指定されていない場合、以上のような問題では数の範囲をどう設定すればよいのでしょうか？（１）ならば、実数と複素数で答え方が異なってくると思いますし、（２）ならば有理数と無理数で解答が違ってくると思います。
宜しくお願いします。

回答No.3

yhposolihp · ベストアンサー

ANo.2　です。

（１）
　>>異なる２つの虚数解をもつ。

　”　判別せよ。”と言う設問では、
　２次方程式の係数は”実数’’です。
　このとき、
　虚数解が重解を持つ事はありません。
　だから、（異なる）をつけると、
　＜間違いではありませんが、＞
　奇妙です。
　”２虚解”で充分です。

（２）
　＃１様への補足、
　>>異なる２つの複素数をもつ。

　これは、誤りです。
　実数と虚数を合わせて複素数です。

　　（１）（２）ともに判っているはずです。
　　何故こう書いたのかの理由は判っています。
　　”つられた。”のですね。
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本論
>>一般的にどちらで答えればよいのか。

　　これは学習範囲の話です。

　　数学１　では、解なし。
　　数学２　で複素数を学習した瞬間、
　　　　　　　　　　　２虚解。　となります。

　　模擬試験では、
　　数学１/数学２は区別されているので、
　　迷う事はありません。

　　大学受験では、２虚解　です。

　　２－３＝　　は、
　　小学校では、答がない。
　　中学校では、答がある。

　　しかし、小学生がー１と答ても、
　　誤りではありません。

　　同様に、
　　数学１のテストで、２虚解と答ても、
　　誤りではありません。

>>一般的にどちらで答えればよいのか。

　　無理に回答すれば、上記の事から、
　　２虚解　です。
---------------

　　が、しかし、
　この事は教科書の導入の部分ですから、
　もうし少し時間がたてば、
　気に成らなくなると思われます。

お礼

ものすごく丁寧な回答ありがとうございます。
＞実数と虚数を合わせて複素数です。
＞大学受験では、２虚解　です。
などなど、いろいろすっきりしました。もっと勉強します。ありがとうございました。

回答No.2

yhposolihp

>>２Ｘ^2－４Ｘ＋５＝０
>>実数と複素数で答え方が異なってくる。

＜判別せよ。＞の答は、
　異なる２つの実数解を持つ。
　重解を持つ。　　　　　　　　　　
　２つの虚数解を持つ。

この３通りしかありません。
ただしテキストにより、表現が違います。

>> 実数と複素数で答え方が異なってくる。
何か別の事と混同しているように思えます。

もし係数の事を言っているなら、
高等学校では、
特に断りが無い時は、係数は実数とする。
としてあります。

＜判別せよ。＞という設問で、
係数が虚数というのは、在り得ないので、
安心して下さい。
---------

>> Ｘ^3－２Ｘ^2－５Ｘ＋６を因数分解せよ。
>> 特に数の範囲が指定されていない場合。

この問題は、
（Ｘ－１）（Ｘ－３）（Ｘ＋２）となるので。

有理数の範囲/実数の範囲/複素数範囲
何れであっても、
（Ｘ－１）（Ｘ－３）（Ｘ＋２）しかありません。
数の範囲が指定されていなくても、
同じ答になります。

例を替えます。
(x^4)+(x^2)-6 とします。
有理数の範囲では、
[(x^2)+3][(x^2)-2]
実数の範囲では、
[(x^2)+3][x-√2][x+√2]
複素数範囲では、
[x-(√3)i][x+(√3)i][x-√2][x+√2]ですね。

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　さて本論ですが、
指定されていない時は、
暗黙の了解で、
有理数の範囲となっています。

　つまり、
[(x^2)+3][(x^2)-2]で留めます。
しかし、
[(x^2)+3][x-√2][x+√2]でも、
[x-(√3)i][x+(√3)i][x-√2][x+√2]でも、
構わないです。

　また、
実数の範囲/複素数範囲で、
因数分解を要する時は、
必ずその旨が明記されます。

(x^2)-2を、
範囲を指定せずに、因数分解して見なさい。
と教師が授業で言う場合は、
導入のためであり、
ルートを使えば、可能と気が付いて欲しい。
ということで、
試験では、明記されますから安心して下さい。

お礼

回答ありがとうございます。
判別式がマイナスの場合、“実数解なし”と答えるべきか、“異なる２つの虚数解をもつ”と答えるか迷った次第です。実数の範囲であれば、解なしでよいと思うのですが、複素数の範囲ならば虚数解を持つと答えなければならないので、答え方が異なってくると思いました。一般的にどちらで答えればよいのでしょうか？

回答No.1

proto

(1)ならば、2次方程式が実数解を持つときには複素数の解は持たないし、逆に複素数の解を持つときには実数解は持ちません。
結局、解が二つの異なる実数解、実数の重解、複素数解のいずれであるかを調べることが解を判別することになります。

(2)の場合、普通、実数係数の多項式を因数分解しろと言われたら実数の範囲で因数分解します。
有理数の範囲で足りるなら有理数の範囲でやればいいし、足りなければ無理数を持ってくる事になります。
でも、こういう演習問題の場合は組み立て除法+解の公式で因数分解出来るものばかりなので深く考えなくても大丈夫です。
この問題もとりあえず組み立て除法でいけます。

(1)にしても(2)にしても、実数・複素数、有理数・無理数で迷ったならば両方やってみれば良いですよ。
ここで聞くよりも両方試した方が早いし、やってみれば自分の質問が的外れであることにも気づくでしょう。

お礼

回答ありがとうございます。
判別式がマイナスの場合、“実数解なし”と答えるべきか、“異なる２つの複素数をもつ”と答えるか迷ったのですが、どちらがよいのでしょうか？