らせんRの計算の仕方

質問

パイプの螺旋階段があったとして、上から見た場合、ひとつの円になっていますよね。
直径1000mm（500R）の円でも、らせんRは、もう少し大きめだと思います。
180度時点の高さなど、必要な情報があると思いますが、らせんRの計算の仕方を教えてもらいたいです。
三角関数を用いるはずですが忘れてしまいました。

また、条件にもいろいろあるかもしれませんが、いくつくらい考えられますか？
逆にらせんRなどの条件から、180度時点の高さなど逆算も可能でしょうか？

回答No.3

info22

#1、#2です。
度数法でなく弧度法のラジアン単位の場合は
R'=dL/dφ=R√{1+(a/π)^2}
で計算します。
つまり、
z=aφ/πで
dz/dφ=a/πとなるから上式になります。

回答No.2

info22

>2を出す過程を念のために聞いておきたいです。
>R'=R√{1+(a/180)^2}=500√{1+(a/180)^2}(mm)
この式で180°回転してa=180mm上に上がる螺旋の場合なら
a=500（このとき√内=2となる）とおけば良いし
a=500(mm)上がる螺旋ならa=500とおけば良いですね。
この「数学」や「物理」のカテゴリーサイトを見れば
「x^2」は「xの二乗」を表すことは分かると思います。

実際にGoogle電卓でも「3^2」だと「3の二乗」＝9
の計算をしてくれます。Excelでも「=3^2=9」の計算をしてくれます。

[半径R=500mmの半回転で500mm上昇する螺旋の曲率半径R'の計算の場合]
Googleの検索欄に
500*sqrt(1+(500/180)^2)
と入力して検索すれば
Google電卓が
500 * sqrt(1 + ((500 / 180)^2)) = 1 476.14781
と計算結果を出してくれます。↓参照
http://www.google.co.jp/search?num=100&hl=ja&q=500*sqrt%281%2B%28500%2F180%29%5E2%29&btnG=%E6%A4%9C%E7%B4%A2&lr=lang_en%7Clang_ja

補足

たとえば、822Rで180度時点の高さが1383の場合、グーグルで下記の結果になります。
822 * sqrt(1 + ((1 383 / 180)^2)) = 6 368.96777
しかし、分かっている答えは1061Rなのです。
答えが違いますが、なぜか分かりますか？
また、エクセルに関数がありますが、らせんRを出せるような関数はありますか？

回答No.1

info22

円柱座標(r,φ,z)
(参考URL参照)
で
r=500(mm)
φ=0～180°
(x=500cosφ,y=500sinφ)
z=500(φ/180)　（φは「°」の単位）
とすれば
180°で高さが500(mm)上昇します。
z=aφ/180　（φは「°」の単位）
とすれば180°で高さがa[mm]上昇します。

dL=√{1+(dz/dφ)^2}Rdφ
R'=dL/dφ=R√{1+(dz/dφ)^2}=R√{1+(a/180)^2}
と螺旋500Rの曲率半径が
R'=R√{1+(a/180)^2}=500√{1+(a/180)^2}(mm)
となります。
たとえば、180°で180(mm)上昇する螺旋ならa=180(mm)
となって
R'=500√2(mm)≒707.1(mm)
となります。

参考URL：

http://www14.plala.or.jp/phys/tools/7.html

お礼

２乗ということが理解できました。すいませんでした。

補足

条件が角度のときなどいろいろなパターンで知りたいので基礎から勉強したいと思います。
大変ありがとうございます。

ひとつお伺いさせてください。
電卓で、２→√→×500をすれば出てきますが、2を出す過程を念のために聞いておきたいです。
180度時点で500mmとすると500÷180＋1ですよね。
^2はどういう意味なのでしょうか？