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余りについて
osaQの回答
x^2ー1 という２次式で割るので，余りは必ず１次以下の式， すなわち ax+b という形に書くことができます。 x^100 を x^2-1 で割ったときの商を Q(x)，余りを ax+b とします。 （商Q(x)は98次式になりますが，問いに関係ないので単にQ(x)とします。） このとき， x^100 ＝ (x^2-1)・Q(x) ＋ (ax+b) となりますが，さらにここで x^2-1 が x^2-1 ＝ (x+1)(x-1) と因数分解できることに気が付けば x^100 ＝ (x+1)(x-1)Q(x) ＋ (ax+b) ……〔★〕 とできます。 〔★〕式に x=1，x=-1をそれぞれ代入してみると， 1^100 ＝ 2・0・Q(x) ＋ (a+b) ，すなわち 1＝a+b …… [1] (-1)^100 ＝ 0・(-2)・Q(x) ＋ (-a+b) ，すなわち 1＝-a+b …… [2] [1] と [2] を連立して解けば，a=0，b=1 が求まり， すなわち x^100 を x^2-1 で割ったとき余りは 0x+1， すなわち「 1 」とわかります
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