専門ではないのですが、回答がないようなので。
まず、等価回路は e3563 さんと同様の結果が出てきました。
（この部分が少し自信なしです。）
この等価回路から合成インピーダンスを求めると
Z = R + i{(X1-Xm)(Xc-X2)-(X2-Xm)(Xc-Xm)}/(Xc-X2)
となるので、共振時の Xc は仰るように
Xc = (Xm^2 - X1X2) / (2Xm - X1 - X2)
となりました。
ここまでくれば、条件 X1=X2=X Xm=kX (k:const)を入れると
交流電源を E(t)=E*exp(iwt) としたとき
Ic = 2E/R*exp(iwt)
I = E/R*exp(iwt) （電源を流れる電流）
I' = -E/R*exp(iwt) （コイル２を流れる電流）
と良さそうな結果になってます。
＞一応計算結果は実数のみ（虚数成分ゼロ）になってしまいました。（何故？）
＞Ic=2E/Rでした。どこかミスでしょうかね。
虚数成分ゼロというのは係数の虚数成分がゼロ（電源電圧とIcの位相差がゼロ）
を意味するので流れる電流の虚数成分がゼロということではありません。
これとは違った意味でミスだと感じておられるなら補足してください。
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